場合の数の問題

質問

10本中2本の当たりくじがあるくじ引きをする。10人の人が順番に引いていき、あたりくじが2本出たらこのくじは終了する。くじを引く人の人数は平均で何人か。

当たりくじを○、はずれを×とします。模範解答の考え方で教えていただきたいのですが、「2本目の○の位置」を基準に考えます。つまり、2本目の当たりくじを引いた人が何人目か、ということです。答えの式は(9*10+8*9+7*8・・・+1*2)/(9+8+7+・・・+1)です。

分からない点はなぜ分母に10が足されていないのか、なぜ分子に1が足されているのか(2までではないのか)、ということです。

よろしくお願いします。

回答No.5

kkkk2222 · ベストアンサー

＝＝＝
最大画面でお願いします。

＞＞＞＞各確率は上から順に・・・

えー
本当良くがんばってるなーと、
ただ、出来るだけ＜夜がたの生活＞は避けた方が・・・
昼がたの生活に戻れなくなるのを懸念しています。

さて、質問文を読んだ段階で
殆んど理解していると即断してしまいました。
あまり力はないけど、質問者様の＜真意＞を把握するのには長けていると、唯一の矜持だったのですが、まだまだ修行が足りませんでした。試みます。

９＃△△△△△△△△△○

これは、１０人目で、終了するＣＡＳＥの図です。

（一番面倒そうなＣＡＳＥを先にやると、あとが楽・・・という発想です）

９個△の中に、１つだけ○がある。裏返しで書くと、
９個△の中に、８つ×がある。
（ＰＣだとＣＯＰＹ　＆　ＰＡＳＴＥが楽だから、全部かいてみます。）
○××××××××○
×○×××××××○
××○××××××○
×××○×××××○
××××○××××○
×××××○×××○
××××××○××○
×××××××○×○
××××××××○○
となって、９通り

８＃△△△△△△△△○は９人目で終了のＣＡＳＥ。
○×××××××○
×○××××××○
××○×××××○
×××○××××○
××××○×××○
×××××○××○
××××××○×○
×××××××○○
となって、８通り

７＃△△△△△△△○は８人目で終了のＣＡＳＥ。
○××××××○
×○×××××○
××○××××○
×××○×××○
××××○××○
×××××○×○
××××××○○
となって、７通り
ーーー
以下順に
６＃△△△△△△○６通り
５＃△△△△△○５通り
４＃△△△△○４通り
３＃△△△○３通り
２＃△△○２通り
１＃○○１通り
０＃不可

全場合の数・・・もしかして、こう言う書き方が判り難い？
言葉を換えてみます。
全部で何通りかの計算は、上からでも下からでも、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５
これが模範解答の分母です。
ーーーーーーーーーーーーーーーーー
９＃△△△△△△△△△○の確率は（９／４５）
８＃△△△△△△△△○の確率は（８／４５）
７＃△△△△△△△○の確率は（７／４５）
６＃△△△△△△○の確率は（６／４５）
５＃△△△△△○の確率は（５／４５）
４＃△△△△○の確率は（４／４５）
３＃△△△○の確率は（３／４５）
２＃△△○の確率は（２／４５）
１＃○○の確率は（１／４５）
０＃不可
確率の合計が　１　になる事を確認して下さい。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
９＃△△△△△△△△△○は１０人で終了なので
１０人で終了の期待値は
１０＊（９／４５）となります。計算はまとめてやるので、
このままの形を保った方がＧＯＯＤです。
これを含めて列挙します。
ー
９＃△△△△△△△△△○の期待値は１０＊（９／４５）
８＃△△△△△△△△○の期待値は９＊（８／４５）
７＃△△△△△△△○の期待値は８＊（７／４５）
６＃△△△△△△○の期待値は７＊（６／４５）
５＃△△△△△○の期待値は６＊（５／４５）
４＃△△△△○の期待値は５＊（４／４５）
３＃△△△○の期待値は４＊（３／４５）
２＃△△○の期待値は３＊（２／４５）
１＃○○の期待値は２＊（１／４５）
０＃不可
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
それと＜平均で何人か。＞の意味は、
各々の期待値の合計＝期待値として、
＜期待値は何人か。＞と言う意味です。
画面から、はみだすかもしれませんが全部書きます。
あと期待値は、普通Ｅと書きます。
ＥＸＰＥＣＴの頭文字です。
期待値Ｅ
=10(9/45)+9(8/45)+8(7/45)+7(6/45)+6(5/45)+5(4/45)+4(3/45)+3(2/45)+2(1/45)
項の数が９個であることも確認して下さい。
全部の項に(１/45)が掛かっているので、外に出して。
E=［(10*9)+(9*8)+(8*7)+(7*6)+(6*5)+(5*4)+(4*3)+(3*2)+(2*1)］/45
半角になった途端、目がまわり始めます。
この後の計算はΣを使う手もありますが、高々９個だから、このまま計算した方が速いです。
誤植可能性∞です。
結局、同じことしか、かいてませんが。
模範解答と順序が入れ替わってますが、同じです。
ーーー

お礼

理解できました。本当に感謝のしようがありません。ありがとうございます。

僕は基本的に朝方生活なので大丈夫です。またがんばっているのは自分の能力がないので、その分やらなければならないという当然のことをやっているだけです。誰のためにやっているわけではなく当たり前のことなので。。。。

回答No.4

noname#47975

#2です。

＞全体の確率は、n(1) + ... + n(10) = 0 + 1 + ... + 9通り
になります。これが分母ですね。
は間違いです。

正しくは、２本の当たりクジの出方は全部で、n(1) + ... + n(10) = 0 + 1 + ... + 9通りになります。

回答No.3

kkkk2222

読むならば最大画面でお願いします。視力衰弱で全角でしか書けません。

当○、はずれ×、未確定△とします。

９＃△△△△△△△△△○
８＃△△△△△△△△○
７＃△△△△△△△○
６＃△△△△△△○
５＃△△△△△○
４＃△△△△○
３＃△△△○
２＃△△○
１＃○○
０＃不可

△の中にひとつだけ○がある事になります。
この図では、下から順に
＃１００　（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）
これが全場合の数となるのでしょう。
＃１００が正しい事は、別解で確認できてますが。
ここで、やっと＃１００が論理的に正しい事がわかりました。
誠に、お粗末です。

各確率は上から順に
（９／４５）、（８／４５）、・・・、（２／４５）、（１／４５）

各期待値は上から順に
１０（９／４５）、９（８／４５）、・・・、３（２／４５）、２（１／４５）

全期待値は
［１０＊９＋９＊８＋８＊７＋・・・＋３＊２＋２＊１］／４５

＞＞なぜ分母に10が足されていないのか、
思い違いですが納得済みでしょう。
＞＞なぜ分子に1が足されているのか（2までではないのか）
ちょと意味が判りませんが、これも納得済みのはずです。

補足

みなさんどうもありがとうございます。「各確率は上から順に」「各期待値は上から順に」「全期待値は」とありますが、「各確率は上から順に」「各期待値」「全期待値は」とは具体的に何の確率、期待値でしょうか。

低脳ですみません。頭がこんがらがっています。。。

回答No.2

noname#47975

k人目で２本目の当たりクジをひいて終わると場合、
一本目の当たりクジをひいたのは、１人目、２人目、…、ｋ－１人目の
ｋ－１通りの場合が存在します。

ここで、ｋ人目で終わるときの場合の数をn(k)とおきます。
すると、全体の確率は、n(1) + ... + n(10) = 0 + 1 + ... + 9通り
になります。これが分母ですね。

後、期待値の求め方は、

Σ[k=1,10](k×n(k)/(n(1)+n(2)...+n(10))
={Σ[k=1/,10]k×n(k)}/(n(1) + ... + n(10))
となり、{}で括った部分にΣが掛かっており、ここで、Σを
はずしてやると、

1×n(1) + 2×n(2) ..... + n×n(10)
= 1×0 + 2×1 + ...... + 10×9
= 2×1 + 3×2 + ...... + 10×9

となり、これが分子になります。

分かりにくいかもしれませんが…。

回答No.1

metis

2本目の当たりくじを引いた人をxとしますね。
とすると、その人の前、即ち、x-1人目までは、その内1人が当たり、残り全員（x-2人）がはずれになることは分かりますよね。
例えば、６人目で終わるなら、その前の５人の内、１人が当たり、残り４人がハズレになります。
となると、６人目で終わるパターンの数は、最初の当たりを５人の内だれが引くかで、５通りであることが分かると思います。

同様にやっていくと、１人で終わるのは０通り、２人で終わるのは１通り…１０人で終わるのは９通りと、それぞれ(x-1)通り有ります。
つまり、全体で、４５通り（1+2+3+...+9）通り有ることになります。

次に、一気に期待値を考えずに、確率を考えます。
例えば６人目で終わる時のパターンの数は、6-1で５通りです。
すなわち、６人目で終わる確率は、5/45になります。

同様に他の人数でも算出して、そこから期待値の定義通りに当てはめて行けば、答えの式になります。

以上を踏まえて、質問に端的に答えて行きますね。（上記で理解できれば必要ない気もしますが）
・なぜ分母に１０は足されない？
この分母は、本来(10-1)+(9-1)+...+(2-1)+(1-1)という形になります。
これを一部整理したものが答えの式になります。
ですから、「10がない」のではなく「1がない」のです。
1がないのは、1人目で終わる事がないからです。

・なぜ分子に1が？
おそらく学校では、期待値の計算は[値]×[確率]で習ったかと思いますがいますが、
その答えの式では、[確率]×[値]になっているのが混乱の原因だと思います。
そう考えれば、1*2は「２人で終わる確率」が、「1/(分母)」である、ということになりますね。

こんな感じでお分かりでしょうか？
分かりにくい点等有りましたら遠慮なくどうぞ。