山手線のトポロジー

質問

環状線である山手線は（他の環状線も同じかも知れませんが）、列車の方向を示すのに、
「上り」・「下り」という表現を使わずに、「外回り」・「内回り」という言い方をします。
分かりにくい表現だと思いますが、外回りが時計回り、内回りが反時計回りです。
恐らく、左側通行にしているために、このような関係になるのだろうと思います。
（制度上の理由が別にあったとしても、この質問には関係しません。）
右側通行ならば当然外回りが反時計回りに、内回りが時計回りになるわけです。
してみると、パラメータの組み合わせとして
（左側通行・外回り・時計回り）
（左側通行・内回り・反時計回り）
（右側通行・外回り・反時計回り）
（右側通行・内回り・時計回り）
の四つがありうる組み合わせということになります。これに対し、
（左側通行・外回り・反時計回り）
（左側通行・内回り・時計回り）
（右側通行・外回り・時計回り）
（右側通行・内回り・反時計回り）
は、ありえない組み合わせです。
この、ありうる組み合わせとありえない組み合わせの本質的な違いは何なのでしょう。
あるいは、ありうる組み合わせ４つに共通する性質は何なのでしょう。

回答No.9

stomachman · ベストアンサー

山手線を鏡に映してみれば、内回り・外回りは変化しないけれども、左側通行・右側通行と時計回り・反時計回りが共に入れ替わる。
　今度は電車が走る向きを逆にしてみる。これは時間を反転したことになっています。するとやはり内回り・外回りは変化しないけれども、左側通行・右側通行と時計回り・反時計回りが共に入れ替わる。
　内回りと外回りの線路を入れ替えてみれば、左側通行・右側通行が逆になり、時計回り・反時計回りはそのままです。

　なんでそうなるか、というご質問と理解しました。こいつは時空のパリティの問題です。ここで深入りするのはやめといて、問題をもう少し煮詰めてみましょ。

　左側通行ってのは、「対向する電車がすれ違う時、右側に見える」ということ。
　時計回りってのは、「回転中心を右に見て進む」ということ。（だからどちらも、左右の区別が付かない観察者にとっては判定不能です。）
　外回りってのは、「回転中心から遠い軌道」ということであり、言い換えれば「対向する電車とすれ違うとき、回転中心と同じ側に見える」ということ。

　するってえと、
　左側通行で時計回りだとすると、「回転中心を右に見て進んでいると、対向する電車がすれ違う時、右側に見える」わけだから、対向する電車は回転中心に近い軌道を走っていることになる。従って対向する電車は内回りである。こっちは外回りである。

　外回りで左側通行だとすると、「対向する電車とすれ違うとき、回転中心と同じ側に見え、それは右側である」んだから、「回転中心を右に見て進んでいる」。従って時計回りである。

　時計回りで外回りだとすると、「回転中心を右に見て進んでいると、対向する電車とすれ違うとき、回転中心と同じ側に見える」んだから、「対向する電車とすれ違うとき、右側に見える」わけで、従って左側通行である。

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　stomachman、内回り・外回りなんて言われてもピンと来なくて困ります。時計回り・反時計回りの方が分かり易いんですが、「反時計回り」がピンと来ない人も多いらしい。せめてプラットホームの表示を「内回り・外回り」にしてほしいなあ。方向音痴なもので、どっちが内か、すら分からなくなるんですよ。

お礼

No.10の方に先にお礼を書きましたが、ついでですから、こちらも書いておきます。

「時空のパリティ」だったのですか。よく知りませんが、物理学の文脈でしかお目に
かかっていない言葉のように思います。時間軸が関わるのは物理学の問題のように
思っていましたが、これは数学の問題ですよね。

時計回り・反時計回りとか外回り・内回りと言うと、軌道全体に関わる性質のように
思ってしまいますが、局所的に判定できるというところがミソですね。

締め切ってもよいのですが、一応「暇な時に回答下さい」としておいたので、ひょっと
すると、まだ暇な方がおられるかもしれませんから、もう少し開けておきます。

ありがとうございました。

回答No.10

stomachman

stomachman、No.9の続きです。

１（（「Ｐが、進行方向を向いてを向いて右側にある」かつ「Ｑが、進行方向を向いてを向いて右側にある」）または
　（「Ｐが、進行方向を向いてを向いて右側にない」かつ「Ｑが、進行方向を向いてを向いて右側にない」））
　は「ＰとＱは同じ側にある」と同義
２（（「Ｐが、進行方向を向いてを向いて右側にある」かつ「Ｑが、進行方向を向いてを向いて右側にない」）または
　（「Ｐが、進行方向を向いてを向いて右側にない」かつ「Ｑが、進行方向を向いてを向いて右側にある」））
　は「ＰとＱは同じ側にない」と同義
３「回転中心が、進行方向を向いて右側にある」は「時計回り」と同義
４「回転中心が、進行方向を向いて右側にない」は「反時計回り」と同義
５「対向する電車が、進行方向を向いて右側にある」は「左側通行」と同義
６「対向する電車が、進行方向を向いて右側にない」は「右側通行」と同義
７「回転中心と対向する電車は同じ側にある」は「外回り」と同義
８「回転中心と対向する電車は同じ側にない」は「内回り」と同義
これらの命題のうち、No.9で暗黙の了解とされていたのは命題１，２、すなわち「同じ側」の定義です。

以上の命題から
時計回りでかつ左側通行ならば、
「回転中心が、進行方向を向いて右側にある」かつ「対向する電車が、進行方向を向いて右側にある」
ここで、１においてP＝「回転中心」、Ｑ＝「対向する電車」とすると、
（「回転中心が、進行方向を向いて右側にある」かつ「対向する電車が、進行方向を向いて右側にある」）は「回転中心と対向する電車は同じ側にある」と同義
だから９により
「外回り」
である。ゆえに、
「時計回りでかつ左側通行ならば、外回りである。」
が導かれた。

これは上記の８個の命題を認めてしまえば全く機械的に推論でき、命題の意味内容に立ち入る必要はない。
さらに、以下が導けます。

「外回り」は（（「時計回り」かつ「左側通行」）または（「反時計回り」かつ「右側通行」））と同義
「内回り」は（（「時計回り」かつ「右側通行」）または（「反時計回り」かつ「左側通行」））と同義
「時計回り」は（（「左側通行」かつ「外回り」）または（「右側通行」かつ「内回り」））と同義
「反時計回り」は（（「左側通行」かつ「内回り」）または（「右側通行」かつ「外回り」））と同義
「左側通行」は（（「時計回り」かつ「外回り」）または（「反時計回り」かつ「内回り」））と同義
「右側通行」は（（「時計回り」かつ「内回り」）または（「反時計回り」かつ「外回り」））と同義

　ゆえに、（外回り・内回り）、（時計回り・反時計回り）、（右側通行・左側通行）の３つのパラメータのうちの１つは、他の２つのパラメータで表すことができる。だから勝手な値は取れない。

　ここで挙げた８つの命題は手抜きと言えば手抜きで、「軌道が三日月形だったら、どっちが回転中心だ？」と言われてしまう。もっと厳密に「方向」を定義していけば、たとえば複素平面上の閉軌道として扱うことになります。それでも「軌道が“８”の字になっていたら、どっちが回転中心でどっちが時計回りだ？」と言われたらお手上げです。
　しかし「トポロジー」と仰る以上、軌道が円と位相同形であることを前提にしていらっしゃるし、そのような変形を認めた場合に、（外回り・内回り）は保存されても、（時計回り・反時計回り）、（右側通行・左側通行）は保存されないこともお分かりだと思います。

お礼

問題の分かりやすい再定義も含め、実に明晰なご回答、ありがとうございます。
質問に書いた「ありうる組み合わせ４つに共通する性質」ではないですが、
３つのパラメータの相互関係を示して頂けたので満足です。
軌道が円でないことを考えると、「回転中心」より「閉曲線の内側」を
見た方が良さそうですね。

回答No.8

oshiete_goo

質問者がトポロジーの専門家ならばおそらくこの質問は出ないでしょうし，
筆者も残念ながらそうではありません．よってもっと高い視点からの説明は待ってみた方がよいでしょう．
ただし，素人的に何がしかのことを考えることは可能でしょう．
もし，ベクトル解析をやっていてrotation(回転)といった概念が使えれば，もっと見通しがよい説明ができそうですが．

まず，次の同値性
（左側通行・外回り・時計回り）<==>（左側通行・内回り・反時計回り）
（右側通行・外回り・反時計回り）<==>（右側通行・内回り・時計回り）
は明らかです．これらは後でわかりますがすべて真です．
また，次の同値性
（左側通行・外回り・反時計回り）<==>（左側通行・内回り・時計回り）
（右側通行・外回り・時計回り）<==>（右側通行・内回り・反時計回り）
もいえます．但し実はすべてこれは偽です．

さて，
反時計回り(左回り)を"＋”の回転
時計回り(右回り)を"－”の回転
と呼ぶことにすると，
「左側通行」は2台の車の相対運動を考えれば（あるいは，同じ質量として任意の点に関するモーメントを考えてもよい）わかるように，"－"の回転，逆に「右側通行」は"＋"の回転とみることができます．これは，例えば物理の「モーメント」や「偶力」のあたりをやっていれば特にイメージ的に理解しやすいでしょうが．

さて，今，外側を時計回りに，内側を反時計回りに車がまわっていたとすると，それぞれの車が１周したとき，そのループ（周）で囲まれる部分の面積（S_out, S_in）に上で定義した回転の向きを表す符号をつけて表すとどうでしょう（いわゆる「符号つき面積」といえばよいでしょう）．

外側の車は S1=-S_out(<0), 内側の車は S2=+S_in(>0) という"回転量"の目安になる符号つき面積が得られて，合計は通過面積の大きさについて S_out > S_in (>0)に注意すると
S=S1+S2=(-S_out)+(+S_in)=-S_out + S_in <0
となります．（合計の[正味の]モーメントが負...というイメージです）

すると，これは「左側通行」の規則だとわかります（両者の符号が一致します）．
なお，Sは符号だけがここでは大事で，大きさは今の場合にはどうでもよいですが，
結局 絶対値 |S| は外側と内側の軌道の間の面積（ドーナツ型の部分の面積）に対応します．すると早い話，外側を回るほうの符号（性質）が勝つ（残る）ので，それだけみれば実は判定できます．

他も同様で，物理でいえば，2台が同じ質量(同じ重み)の時の正味のモーメントの符号と「左側通行（－）」「右側通行（＋）」の符号は一致します．一致しない組み合わせは許されない（ありえない）ということです．

なお，ここでは「左側通行」を "－",「右側通行」を "＋"と約束しましたが，この符号の取り方は逆にしても「符号が一致する，しない」の判定条件には影響しないこともわかるでしょう．（数学でよくある，正領域，負領域の場合と同様です．）

お礼

非常に興味深いご回答ありがとうございます。
左側通行・右側通行がそれぞれ時計回り・反時計回りの
小さな回転に相当するということですね。
面白いと思います。確かに見通しはよくなります。

回答No.7

chichiemon

質問のすべてのケースは、３つの条件のうち２つの条件だけで決まるものです。方程式でいえば、２つの未知数に対して式が３つあるようなものです。で、あり得る組み合わせは、３つの条件のうち任意の２つ（どの組み合わせでも可）を使用して出した結果に残りの１つの条件が一致するということです。ありえない組み合わせは、これとは反対に任意の２つの条件で出した結果と残りの１つの条件が必ず一致しないという違いではないでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。
その「条件」を知りたいのですが．．．。

回答No.6

nozomi500

こまかいことをいえば、路線自体には「上り・下り」があるのだけれど、途中で「上り」になったり「下り」になったらややこしいから「内外」を使っている。
大阪環状線には、「はるか」や「オーシャンアロー」みたいに環状線から出て行く列車があるから、列車にも「上り・下り」があるんですが。

本題にもどれば、単に、
（左側通行・外回り・時計回り） と（左側通行・外回り・反時計回り） が総反しているからじゃないですか？

赤道環状線を考えた場合でも、どちらかを（左側通行・外回り・時計回り） に定義してしまえば、（左側通行・外回り・反時計回り） が成り立たない。

そもそも、「右」とは何か、というと、「日の出る方向に向かって南」
じゃあ「南」は、というと「費の出る方向に向かって右」（某K社国語辞典）
「内外」は定義できるんでしょうが、このへんがね。（「時計周り」、というのは、「東→南→西」で定義された方向ですね。日時計で考えれば西→北→東というべきかもしれないけど。）
「左側」と「時計」はこのへんからリンクしているのですが。

お礼

途中で「上り」になったり「下り」になったりするんですか？それは知らなかった。
本題について言えば、No.3のお礼で書いたことの繰り返しになるかと思います。
> 「左側」と「時計」はこのへんからリンクしているのですが。
この辺、もう少しはっきりさせて頂くとありがたいのですが。
ご回答ありがとうございました。

回答No.5

zabuzaburo

ご参考までに。
大阪にも環状線があります。
山手線と同じように左側通行で、
時計回りに進むほうが外回りです。
ところが、私は大阪駅から環状線に乗るたびに
内回りと外回りを選び間違えそうになることが何度もありました。
初めは原因が分からなかったのですが……
なんと、大阪駅に掲示されている大きな看板には、
地下から環状線を見上げたときの配置で路線図が描かれていたのです
(たぶん現在でも)。
したがってその路線図にはranxさんの挙げた
「あり得ない組合せ」だけが登場します。

お礼

・・・・・。
蟻観図とか言うんでしたっけ。
しかし、「ありえない組み合わせ」ではなくて、
右側通行の図になりそうな気がしますが．．．。
面白い情報を、ありがとうございました。

回答No.4

anoko

ranxさんのいう「ありうる」組み合わせは、すべて電車が
前に進んでいる（0より大きい速度で進んでいる）時の
ものです。
だから、（左側通行・外回り・時計回り） のままバック
したら（左側通行・外回り・反時計回り） になると思います。

左側通行というのは進んでいる電車の顔（？）の向きに
よって決まるものですが、外回り・反時計回りというのは、外側から見て決まるものなので。

また、違う例でいえば、赤道の長さと同じ環状線があったとして、内側を走っているのはどっちか？という問題を
考えてみてください。

少しは考える助けになったでしょうか？

お礼

バックですか？それは反則．．．。
私としては、仮に全線運行停止状態だったとしても、外回りは時計回りと決まっているものと
思っていたのですが．．．。
赤道の例について言えば、北半球・南半球のどちらを内側と定義してもよいと思います。
どちらにしても、左側通行ならば内側は反時計回り、そうでない側は時計回りになると思います。

補足

書き忘れました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

pancho

本質かどうかわかりませんが、
この３つのパラメータ
　　　（左側・右側通行、外・内回り、時計・反時計回り）
は、その内２つが決まると他の１つが決定されるという関係にあります。つまり互いに独立なパラメータではないということがヒントになりませんか？

また、互いに同一の閉曲線上を逆方向を進行するので、
　片側が左側通行ならば、もう片方も左側通行（右ならば右）
　　〃　内回り　　〃　　　　〃　は外回り
　　〃　時計回り　〃　　　　〃　は反時計回り
となりますよね。従って、この組み合わせでは「左側通行」か「右側通行」かの１点のみが問題になります。

以上。

お礼

ご回答ありがとうございます。
全くその通りなのですが、そうすると８つの組み合わせのうち一つについて
ありうるかどうかが判定できれば他は自動的に決まることになります。
では、最初の一つはどうやって判定したらよいのかということになりますよね。
どうしましょう。

回答No.2

arumagiro

そうですか数学の問題としてですか。

私にはわかりませんが、どちらもあり得ない組み合わせではないかと思うのですが。
別に左側通行で外回りで反時計回りもある様なきがしますが、私が質問を理解出来ていないだけでしょう。

他の方の回答にお任せしたいと思います。

お礼

> 左側通行で外回りで反時計回りもある様なきがしますが
そうですか。やっぱり証明を必要とすることだったのですね。
証明は後で考えるとして、円形の道路を作って左側通行にしたら、
どうしたって外側が時計回りになると思うんですけど、そうは
思わないですかね。
何はともあれ、ありがとうございました。

回答No.1

arumagiro

右側通行、左側通行というのは何を基準にしているのでしょうか。
その辺りにありえるあり得ないの違いがあるのではないでしょうか。
・外回りで時計回り
・内回りで反時計回り
この場合どちらがどちら側通行ということでしょうか。

別にどちらをどちらと言ってもいいのではないでしょうか。

ちなみに電車の場合各施設の関係で進行方向が決まっています。
＞恐らく、左側通行にしているために
こちらにある様になっています。
誰が決めたかはしりませんが、進行方向はどちらかに決めておかないと、各保安機器の問題から都合が悪いのです。
（単線や構内では別ですが）
また、通常の場所では基本的に電車は進行方向を変える事は出来ません。
これも保安設備上の問題です。
（ですので、バックなどは大問題となります）

ちなみに、上り下りの表現を使用しないのは、起点駅から終点駅に進むのに2つの方向がある為、上り下りの表記が合わない為と思いますが、いかがでしょか。

お礼

回答ありがとうございます。
うーん、やっぱり質問の表現が分かりにくかったかな？
あくまでも「数学」の問題のつもりで質問しているので、
保安作業の都合等聞いているわけではないのです。
本当は山手線でなくても何でもいいので、例えば環八を
走っている車輌は時計回りに回る方が内側を走りますよね。
当たり前と言えば当たり前すぎることを、あえて「なぜ」
と聞いているのです。
よろしくお願いします。

補足

お礼の文で
> 時計回りに回る方が内側を走りますよね。
は逆ですね。
時計回りが外側でした。
失礼しました。