積分（面積）

質問

「中心が（０，０）にあり、半径がaの円がある。直線x=b（０≦b≦a）によってこの円が二つの図形に分けられるとき、円の中心から離れている方の図形の面積Sの値を求めよ。」と言う問題なのですが、どうやってもうまくいきません。そもそも自分で作った問題なので、ちゃんとした答えが存在するかどうかも危ういのですが、もし分かる方がおられればご教授願いたいです。（出来れば分かりやすい解説をお願いします。）

回答No.5

sacra_sak · ベストアンサー

>> 「x：b→a のときθ：？→π/2」
>> このはてなのところの値が出ないんです。
x = b となる x ですから，
　　　b = asinθ
とすれば，
　　sinθ = b/a　　　…(1)
です．回答履歴のほうを拝見すると新高二の方のようですが，数IIIの積分までご存知のようなので「逆関数」はもちろんご存知でしょう．実は大学の初年度 (の極めて初めですが) で sin，cos，tan の逆関数というものを習います．sin の場合それを「アークサイン」と言って，arcsin x や sin^{-1} x と書きます．「サインの値が x になるような角度」という意味です (むろん値域は -π/2 から π/2 に限定されます)．
これを用いますと，(1) 式は，
　　θ = sin^{-1} (b/a)
と書けます．「サインの値が b/a になる」ような角度ということです．θ だと問題なので α としましょう．もちろん，
　　sinα = b/a
です．すると，
　　cosα = √{1 -(b/a)^2} = √(a^2 -b^2) /a
となりますね．さて本題の計算ですが，とりあえず準備を．
　　x = asinθ
と置きましたから微分は，
　　dx = acosθ dθ
で，また，
　　√(a^2 -x^2) = √{a^2(1 -sin^2 θ)} = acosθ
です．一方，これは積分の常套手段ですが，半角公式から，
　　2cos^2 θ = 1 +cos2θ
とできますね．以上の準備のもとで，
　　S = 2∫[b→a] √(a^2 -x^2) dx
　　　= 2∫[α→π/2] a^2 cos^2 θ dθ
　　　= a^2 ∫[α→π/2] (1 +cos2θ) dθ
　　　= a^2 [θ +(1/2)sin2θ]_α^(π/2)
　　　= a^2 [θ +sinθ cosθ]_α^(π/2)
　　　= a^2 {(π/2 +0) -(α +sinα cosα)}
　　　= a^2 {π/2 -α -b√(a^2 -b^2) /a^2}
　　　= a^2 {π/2 -sin^{-1} (b/a)} -b√(a^2 -b^2)
となりました．ほかの回答者様が指摘されているとおり，あまり綺麗な形にはなりませんね．ためしに b = 0 としてみると当然半円の面積 S は πa^2 /2 となるはずで，
　　S = a^2 (π/2 -sin^{-1} 0) -0√(a^2 -0)
　　　= a^2・(π/2) = πa^2 /2
となってたぶん大丈夫ですね．説明したとおり sin^{-1} 0 は，「サインの値が 0 になるような角度」ということですから，その角度は 0 (ラジアン) です．

お礼

お礼が遅れて済みません。大変詳しい説明、有り難うございました。学校で勉強している間もこのことがずっと気になっていたのですが、すっきり解決出来ました。

回答No.4

mis_take

円とｘ軸との交点をA(a,0)，円と ｘ＝ｂ との交点の1つをP(b,√{a^2-b^2}) ，ｘ＝ｂ とｘ軸との交点を H(b,0) とおくと
・Ｓ＝２(扇形OAP－三角形OAH)＝ａ^2θ－ｂ√{ａ^2－ｂ^2}
・ただし，θは cosθ＝b/a となる鋭角（単位はラジアン）
です。
θは特殊な角以外は数表か電卓の助けを借りないとわかりません。

お礼

こんな解き方もあるのですね。ありがとうございました。

回答No.3

kkkk2222

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こんにちは
貴殿の知識が不明で迷ってましたが＜＃３様への補足欄で＞見当がつきましたので、書きやすくなりました。
まずＳＩＮ、ＣＯＳ、ＴＡＮ各々の逆函数の知識が、ある程度必要なります。ＴＥＸＴ表示では括弧の多用が不可避ですので少しでも緩和出来るようにＡ、Ｂ、とＸ、Ｙ、Ｔを使います。また結果的に＜判りよい数値＞が出てくるのは、図から逆に推理して角度Ｔの値が３０度、４５度、６０度の場合はＯＫ。１５度、７５度もたぶんＯＫ。その他については俄かには判明しません。積分結果が既に出ているかもしれませんが。ま、やります（不定積分）。定積分に関しても計算方法を記述します。最初にＸ＝ＳＩＮ（角度Ｔ）と置きますが、ちょっと変なので最後には調整した方が良いと感じます。また逆函数に関しては、ゴチャゴチャやってると、上記の角度に対しては面積はでてくるはずです。

X=AsinT と置く
Y=AcosT
X/Y=tanT→T=arctan(X/Y)
X/A=sinT→T=arcsin(X/A)
Y/A=cosT→T=arccos(Y/A)　と準備します。
または　
Y/A=cosT=(√(A^2-X^2))/A
Y=√(A^2-X^2)

P=∫√(A^2-X^2)dX dX=dT(AcosT)
=∫√(A^2-(AsinT)^2)dT(AcosT)
=(A^2)∫((cosT)^2)dT
=(1/2)(A^2)∫(1+(cos2T))dT
P'=(1/2)(A^2)【T】+(1/2)(A^2)(1/2)【(2sinTcosT】
P=(1/2)(A^2)【T】+(1/2)(A^2)(1/2)【(2sinTcosT】
=(1/2)(A^2)【(1/2)arctan(X/Y)】+(A^2)【(X/A)(1/A)√(A^2-X^2)】
=(1/2)(A^2)【arctan(X/√(A^2-X^2)】+(1/2)X(√(A^2-X^2))
一応、完成してますがY=√(A^2-X^2)と戻すと、
P=(1/2)(A^2)【arctan(X/Y】+(1/2)XY)
式は書きませんが、Ｘ、ＹとＣＯＳ、ＳＩＮの関係よりＸ、Ｙを逆に書く方が自然かと思います。

さて定積分では、このままでもＯＫですが、P'で
P'=(1/2)(A^2)【T】+(1/2)(A^2)(1/2)【(2sinTcosT】
=(1/2)(A^2)T+(1/2)XY)
求める面積Sとして
S/2=(1/2)(A^2)T［0,T'］+(1/2)XY［B,A］
とした方が計算しやすいでしょう。
目が疲れてきたのでＢ＝０として自明な解(1/2)π(A^2)を出して終わります。おそらく誤記があると思いますので、適宜判断して下さい。
最初に書いた角度については検証して下さい
S'/2=(1/2)(A^2)T［0,π/2］+0
=(π/4)(A^2)
S'=(π/2)(A^2)

ＳＥＥ　ＹＯＵ
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お礼

丁寧に解説していただき、ありがとうございました。

回答No.2

mgsinx

？のところを求めるには、逆三角関数（大学で習います）の知識が必要です。
簡単に説明すると、A=sinBのとき、B=arcsinAとなります。
これを使って解くと答えには逆三角関数が含まれているので、結局あんまりきれいな形にはならないということです。
但し、AとBが特別な値ならばきれいな答えが出るということです。

お礼

回答して頂き、有り難うございました。早く大学で本格的に習ってみたいです。

回答No.1

mgsinx

半径がaの円のうち、上半分（y≧0）の部分の式は、y=√(a^2-x^2)です。
このことからSは、√(a^2-x^2)を-aからbまで、或いはbからaまで積分した値の2倍の値になります。
y=√(a^2-x^2)の積分のやり方は、x=asinθと置き、置換積分を実行します。

補足

早速の回答、有り難うございます。x=asinθと置き、置換積分を実行することは分かったのですが、　
「x：b→a のときθ：？→π/2」
このはてなのところの値が出ないんです。