ラグランジュの未定乗数法について

質問

ラグランジュの未定乗数法について
その概要と具体的な計算例を教えてください。

回答No.1

stomachman

条件付きで極値を求める問題（極値問題）、
すなわち、n個の変数に関するm個の条件式C：
C[j](x[1],x[2],....,x[n])=0 (j=1,2,...,m)
という条件下で(m<n)、目的関数f(x[1],x[2],....,x[n])の極値（極大か極小）を求める問題を解くには、
λ[j]を(j=1,2,...,m)任意の定数（ラグランジュ未定係数・ラグランジュ未定乗数）とし、
F(x[1],x[2],....,x[n]) = f(x[1],x[2],....,x[n]) + λ[1]C[1]+ ....+ λ[m]C[m]
とするとき、
∂F/∂x[i] = 0 (i=1,2,...,n)かつC[j]=0(j=1,2,...,m)
という連立方程式を解けばよい。

というやり方。変分法でしばしば使いますので、計算例は変分法の教科書を見ると良いです。特に有名なのは等周問題でしょう。

この問題を普通に考えると、
　m個の変数x[m+1], .....,x[n]は条件式によって決まってしまうから、fは実質的にはn-m個の変数を持つ関数
f#(x[1],x[2],....,x[n-m])f(x[1],x[2],....,x[n-m], y[1],......y[m])
と考えることが出来ます。ここで、y[k]はCの条件を解いたもの。すなわち、x[1],x[2],....,x[n-m]を決めたときに上記の条件を満たすようなx[n-m+k]を与える関数： y[k] (x[1],x[2],....,x[n-m]) = x[n-m+k] であると考える訳です。
　そしてf#が極値を取るx[j](j=1,2,....,n-m)を求めればよい。つまり
∂f#/∂x[j]=0 (j=1,2,....,n-m)
ところが、具体的にy[k](k=1,2,....,m)を求めることができない（或いは難しい。もの凄く複雑だ）。あーこまった。煮詰まっちゃった。ということになりますね。

つまり、y[k]を陽に求めなくても、陰関数のまま扱えるのが利点です。