• ベストアンサー

ベクトルの内積

(問)四角形OAPBにおいて、∠OAP=∠OBP=π/2   OA=2、OB=3であり、→OA・→OB=2のとき   (1)内積→OP・→OA、→OP・→OBを求めよ   (2)→OP=h→OA+k→OBとなる実数h、kの値を定めよ。 (1)は→OP・→OA=4、→OP・→OB=9と求まったのですが(2)が|→OP|の二乗=4(hの二乗)+4hk+9(kの二乗) まではわかったのですがここからどうしたらいいのかわかりません。 連日の質問で申し訳ありませんがよろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)
回答No.1

(1)を利用するために →OP・→OA=(h→OA+k→OB)・→OA=4 →OP・→OB=(h→OA+k→OB)・→OB=9 を計算して、連立を解けばいいのではないですか?

derise18
質問者

お礼

ありがとうございました。 答えまでたどり着くことができました。

関連するQ&A

  • ベクトル内積の問題

    ベクトルの(恐らく内積を使う問題)が解けなくて困っています。 以下がその問題です。 問  四角形OAPBにおいて、∠OAP=∠OBP=90°、OA=2、OB=3、OA↑・OB↑=2とする。 (1)OP↑をOA↑、OB↑を用いて表せ。 (2)線分OPの長さを求めよ。 (1)は AO↑・AP↑=0 ⇒ -OA↑・(-OA↑+OP↑)=0 ⇒ |OA↑|^2-OA↑・OP↑=0 このとき同様に BO↑・BP↑=0 ⇒ -OB↑・(-OB↑+OP↑)=0 ⇒ |OB↑|^2-0B↑・OP↑=0 故に 4-OA↑・OP↑=9-OB↑・OP↑ ⇒-5=OP↑・(OA↑-OB↑) というところまで計算して両辺を(OA↑-OB↑)で割ろうとしたのですが、内積は割り算できるのか疑問に思いました。そもそもこの解法であっているのかもわかりません。 どなたかこの問題の解説と内積の割り算は可能かどうかを教えてください! 最後まで読んでいただきありがとうございます。 見づらい文章ですいません。

  • ベクトルの内積について

    3点A,B,CがOを中心とする半径1の円周上にあり、            →  →  →     →  →   OA+√2OB-OC=0  を満たしている 1)内積OA・OBの値を求めよ この問題の解き方を教えて下さい。 私自身が考えたのは、それぞれ、OA=、OB=、OC=、になおして、cosθを求めてみたのですが止まってしまいました。 よろしくお願いします。

  • ベクトルについての質問です

    OA=2√2、OB=3、角度AOB=45度である三角形OAB → →   → OC=OA-2/3OBを満たす点をCとし、辺ABを1:1-t(0<t<1)に内分する点をPとし、直線OPと直線BCの交点をQとする      → →  → → (1)内積OA・OB、OC・ACの値を求めよ   → → (2)OQ=kOPとするとき 実数kの値をtを用いて表せ (3)4点OACPが同一周円上にあるとする (i)tの値を求めよ (ii)三角形OBQの面積を求めよ です。(1)は6と0って出ましたが(2)から手詰っています。方針だけでもいいのでよろしくお願いします。

  • ベクトルが垂直のときの内積の問題について

    一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をM、△OBCの重心をGとし、OA→=a→、OB→=b→、OC→=c→とする。 問)辺OA上に、∠MGP=90°となる点Pをとる。このときOP→=ta→として、tの値を求めよ。 という問題です。GP→・GM→=0として計算した場合答えがt=1/5と出て、正解だったんですが、ひとつ疑問があります。このGP→・GM→=0の「GM→」の部分を「MG→」として計算することは不可能なのでしょうか?(自分でやったら答えが出ませんでした) 内積=0を利用するときに向きを考えなければならないのでしょうか?教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

  • 数学II ベクトルの内積問題について

    高一です。以下の問題が分からず困っています。 (ちなみに→aというのはaベクトル、|a|は絶対値aのつもりです。 記号が分からなかったので適当におかせていただきました) 問一 ΔABCは,AB=√34,BC=4であり,ベクトルの内積に関して    →AB×→BC = 3→BC×→CA が成り立つとする.    線分BCを3:1に内分する点をHとし,→HA=→a,→HB=→bとおく.    (1) →aと→bが直角に交わることを示せ.    (2) |→a|,|→b|を求めよ.    (3) 内積→CA×→ABの値を求めよ. 問二 平面上にΔOABがあり,OA=5,OB=6,AB=7を満たしている.    s,tを実数とし,点Pを→OP=s→OA+t→OBによって定める.    (1) s,tが s,t≧0, 1≦s+t≦2 を満たすとき,      点Pが存在し得る範囲分の面積を求めよ.    (2) s,tが s,t≧0, 1≦2s+t≦2, s+3t≦3 を満たすとき,      点Pが存在し得る範囲分の面積を求めよ. 問三 ΔOABの辺AB,OBの長さをそれぞれ a,b とする. 辺OA上に OE:EA=1:4 となるように点Eをとる.    線分OCと線分BE,ADとの交点をそれぞれP,Qとし, 線分ADと線分BEの交点をRとする.    →a=→OA,→b=→OBとする.    (1) →PQを→a,→bで表せ    (2) →PRを→a,→bで表せ    (3) |→a|=√5,|→b|=1, →a×→b = 1のとき,ΔPQRの面積を求めよ さっぱりです。明日試験があるというのに… 教えていただけると幸いです。

  • 高2 数学 ベクトル 内積a↑・b↑ 求め方

    △OABがある。辺OA,OBの中点をそれぞれM,Nとし,辺ABを1:2に内分する点をCとする。 また,線分BMと線分CNの交点をPとし,OA↑=a↑,OB↑=b↑する。 直線OPと辺ABの交点をQとするとき,OQ↑をa↑、b↑を用いて表せ。また,|a|=3、|b|=2、|NQ↑|=4分の5(4/5)であるとき、 内積a↑・b↑値を求めよ。 計算したところ、 OQ↑=3/1a↑+3/2b↑になりました 合ってるか不安です(><) 内積a↑・b↑値はわかりません 教えてください、、 図とか汚いんですけど、、 写真に(1)~(3)の問題のせてます。今回(3)がわかりません お願いします┏●

  • 平面ベクトル(内積を使う問題で)

    平面ベクトルでの質問があります。 ご教示戴ければ幸いです。 [問1] (1) OA=2√2、OB=√3、(→OA)・(→OB)=2の時、△OABの垂心をHとする時、(→OH)を (→OA)と(→OB)で表せ。 [答え](→OH)=1/10(→OA)+3/5(→OB) Hが垂心⇔(→AH)・(→OB)=(→BH)・(→OA)=0…(1) で (→OH)=s(→OA)+t(→OB)と置く、、、、 まで分かったのですがどうやって (→OH)を(→OA)、(→OB)の和で2通りに表せるのでしょうか? (2)平面上にO、A、B、Cがある。(→OA)+(→OB)+(→OC)=(→0) 、OA=2、OB=1、OC=√2の時、△OABの面積を求めよ。 [答え] √7/4 ((→OA)・(→OB)=-3/2) ヒントには"cos∠AOBを求めよ"とあるのですが、 どうすればcos∠AOBが求まるのでしょうか?

  • 平面ベクトル問題

    こんばんわ。受験数学の問題なのですが宜しくお願い致します。 [問] OA=3、OB=2、∠AOB=60°の△OABがある。辺ABをm:(1-m)の比に内分する点をC、頂点Bから辺OAに下ろした垂線の足をH、OCとBHの交点をPとする。 (→OA)=(→a)、(→OB)=(→b)と置く時、次問に答えよ。(但し、0<m<1) (1) 内積(→a)・(→b)の値を求めよ。 (2) (ア) (→OH)を(→a)で表せ。 (イ) (→OP)を(→a)、(→b)を使って表せ。 (3) △OAPが∠OPA=90°の直角三角形になる時、定数mの値を求めよ。 [(1)の解] (→a)・(→b)=3 [(ア)の解] (→OH)=1/3(→a) [(イ)の解] OP:CP=α:1-α BP:HP=β:1-β とする時、 (→OP)=α(1-m)(→a)+mα(→b) (→OP)=(1-β)/3(→a)+β(→b) と二通りに表せる事により一時独立から α=1/(3-2m) β=m/(3-2m) と求まり、 (→OP)=(1-m)/(3-2m)(→a)+m/(3-2m)(→b) [(3)の解] ∠OPA=90°より 0=(→OP)・(→PA)=(→OP)・((→OA)-(→OP)) =9(1-m)*(3-2*m)+3*m*(3-2*m)-9*(1-m)^2-4*m^2-6*(1-m)*m (∵(→a)^2=9、(→a)・(→b)=3、(→b)^2=4) よって両辺に(3-2m)^2を掛けて整理して -3m^2+3m+18=0 ∴m=3/26±3/26√105 とどうしてもなってしまうのですが 0<m<1に収まりません。 やり方を間違っているのでしょうか?

  • ベクトルを教えて下さい

    四面体OABCがあり、OA=OB=OC=5、∠AOB=∠BOC=∠COA=90゜である。辺ABを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとする。また、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑cとする。 (1)内積↑a・↑bを求めよ。また、↑ODを↑a、↑bを用いて表せ。 →解けました。 ↑a・↑b=0 ↑OD=↑a+2↑b/3 (2)↑OFを↑a、↑b、↑cを用いて表せ。また、線分AFと△OBCとの交点をPとするとき、↑OPを↑b、↑cを用いて表せ。 →↑OFを求め、↑AP=t↑AFとなるような実数tが存在するため、これを求める。式↑AP=t↑AFを始点Oベクトルの関係式に直し、↑OPを↑a、↑b、↑cを用いた式で表す。↑OPは↑bと↑cだけで表される。↑aの係数は0である。このことよりtを求める。を使うそうです。 (3)(2)のとき、△OAPの面積を求めよ。 →↑OA・↑OP=0を示し、|↑OP|^2を計算する。|p↑a+q↑b|^2の公式を使う。を使うそうです。 解答と解説をよろしくお願いします。

  • 【ベクトルと内積】

    四面体OABCについて、OA=OB=OC=3、AB=BC=CA=√6である。 また、点Pは辺ABをx:1-xに内分し、点Qは辺OCをy:1-yに内分する。(0<x<1、0<y<1) OA→=a→、OB→=b→、OC→=c→として (1)内積a→・b→は? (2)PQ→をa→、b→、c→、x、yで表せ。 (3)2点PQの間の距離PQの最小値と、そのときのx、yの値は? (3)が分かりません(><) 数学の得意な方、教えてください!