このとき逆にたしかに成立？

質問

僕は京大目指して数学の勉強を独学でしているのですが、
たまに解答に～～だからこのとき確かに成立する、とか
解説にこの時十分であることを示さなければいけない、とか
でてきます。数学好きなのにたまに出てくるこれらの意味が全く分かりません。
どういう時に逆に成立する事を確かめなければいけないのでしょうか？
また、十分条件についても教えてください・・。
お願いします。

回答No.4

quantum2000 · ベストアンサー

全般的な話しは既に回答されているとおりと思いますので，
蛇足ながらよく議論になる具体例を１つ追加してみます．

例題：［部分分数分解］
　　　　１／（ｘ－２）（ｘ＋１） ＝ Ａ／（ｘ－２） ＋ Ｂ／（ｘ＋１）
　　　　が（常に）成り立つような定数Ａ，Ｂ を求めよ．

この問題では，
　　　(1) ｘ は，ｘ ＝ ２， －１ 以外の任意の実数
　　　(2) このような実定数Ａ，Ｂ は存在する
といったことが，題意として「暗黙の前提」となっています．

ここで「普通の解法」としては，
右辺をまとめて，恒等式の性質から，連立方程式を解いて求めるでしょうが，別解として，
別解：このような実定数Ａ，Ｂがあったとしたら，
　　　与式の両辺に（ｘ－２）（ｘ＋１） をかけて，
　　　　　１ ＝ Ａ（ｘ＋１）＋Ｂ（ｘ－２）　・・・(3)
　　　ここで，この式は(1) よりｘについての恒等式だから，
　　　ｘ ＝ ２ のときを考えると，(3) の式は
　　　　　１＝Ａ＊３
　　　となり，
　　　　　Ａ＝１／３　・・・(4)
　　　と求まります（！？）
　　　同様にして，
　　　ｘ ＝ －１ のときを考えると，
　　　　　１＝Ｂ＊（－３）
　　　となり，
　　　　　Ｂ＝－１／３　・・・(5)
　　　と求まります（！？）

さあ，この別解は正しいでしょうか？

実はこの答(4)，(5) は「正解」です．
しかし，この別解では，もし解があったとしたらこうならないといけない，
という最低限必要な条件（いわゆる「必要条件」）を示しているだけであって，
この答（条件）であれば十分だ（いわゆる「十分条件」），ということはまだ示されていない，
ということなのです！

つまり，この「別解」では正確には，
答が出た(4)，(5) の後で，これらの値を（初めの）与式にそれぞれ代入して，
与式を満たしていることを確かめないといけないのです！

この確かめによって，(4)，(5) で出てきた答が，
　　　与えられた条件を十分に満たす答
である，ということが示されて，「正解」となります．

ですから，こうした問題の場合には，「逆」も確かめないといけないのです．
（なお，入試などで答だけ書けばいいような場合に，
この例題ような問題の答を求めるのには，実際に「逆」まで確かめる必要はないでしょう．）

回答No.3

kkkk2222

うううう難問　徒然なるままに・・・

１、原則的な事は書けますが。
２、式変形のとき。
この変形は同値変形、これはそうじゃない。明白に意識できた時はＯＫ。連立一次の時はＯＫ。連立２次以上は経験上は無縁解に出会った事がない。
３、軌跡　これは曖昧　教科書さへ単に＜逆も成り立つと書いて＞誤魔（胡麻）化してある。ただ、逆の検証用・不要は無意識にわかるはず。
４、ＰＡＲＡＭＥＴＥＲ消去、文字消去
文字消去の時は逆どころか、完全誤答もありうる。今は昔、東大の問題で、(a+b,ab)の軌跡で判別式使用に気が付かず完全誤答、いまだにこの形を見ると、判別式虎馬。ＣＨＡＲＴ曰く、虎は死して皮を残し、文字は死して変域を残す。やや脱線。ともかく怖い。ＰＡＲＡＭＥＴＥＲでは著名な例として、cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),sinθ=2t/(1+t^2)　所謂軌跡の限界、これは何度か見かけた、だいたい判断できるはず。
５、そもそも、逆が問題になるのは１００問中何問あるんだろう。微積・行列・漸化式・函数・・・まずない。京大でもあまり記憶はない。
当方は逆で失敗した経験がない。というより、問題そのものがとけなかった。問題文に＜必要とか充分とか記載されていれば別だが＞。極端に言えば入学試験は数学５割でＯＫ、そのかわり他教科は全て８割。

６．以上、貴殿にとっては全て既知と推測できる。何かひとつでも参考になる事はないかと呻吟しているがでてこない。
７．無意識に答を与式に代入（常識）　
８．微妙な問題があるのは確か。
９．当方は、国語５割、英語９割、世界史９割、物理８割、化学８割、そして数学６割で合格確信。
　Ｉ　ＧＡＶＥ　ＵＰ　　　　ＳＥＥ　　ＹＯＵ

回答No.2

noname#101087

>たまに解答に～～だからこのとき確かに成立する、とか解説にこの時十分であることを示さなければいけない、とかでてきます。

中途半端なマニュアル風のコメントになりますが....。

(1) 提示された命題の条件を導く設問だったら「十分であることを示さなければいけない」。
(2) 計算問題でも演算の過程で原題とは異なる式の解がまぎれこんでしまう場合には、原題を成立させる解だけを
　　選別してみせなきゃいけない。(無理方程式を二乗して解いたときなど)

ほかにもありそうですが、いつでもやるべきことではないと愚考します。(下手にやるとバカ呼ばわりされそう)

回答No.1

kazakami-s

＞どういう時に逆に成立する事を確かめなければいけないのでしょうか？
　軌跡の問題には、「逆にこのとき、上の条件を満たす」というのが必要。また、恒等式の問題でも、「逆に・・・・」という文章が必要になります。
＞十分条件についても教えてください・・。
　pとqの集合があり、pがqであるための□条件である。
このとき、p⇒qなら「十分条件」
　　　　　q⇒pなら「必要条件」

参考書のことを書いただけですが・・・・。

お礼

有難うございます。