数学的帰納法の問題なのですが・・・

質問

『x＞-1のとき、(1+x)^n≧1+nx』が問題です。
私が取った方法ですが、
まずn＝0の時xが何であろうと等号が成り立つということを示しました。
次にnが負の時を示そうと思い、nが負であることを前提に、0＜x＜-1と0＜xに分けて証明することにしたのですが、
0＜x＜1の時に、
左辺の範囲：∞＞(1+x)^n＞1
右辺の範囲：-n+1＞1+nx＞1
という値のとりうる範囲を導出してしまい、これでは証明になってないことに気づいて苦戦しております。
また0＜xのときにも同じようなことでつまづいてしまいました。

どなたか詳しい方おられましたら解法を教えていただけないでしょうか。よろしくおねがいします。

回答No.6

endlessriver · ベストアンサー

＃４です。訂正します。
nが負ならn→-nとして（(1+x)>0に注意）
(1-nx)(1+x)^n≦1を示せばよい（n=0,1,2,..）。
帰納法で結局
(1-(n+1)x)(1+x)(1+x)^n=(1-nx-(n+1)x^2)(1+x)^n
≦1-(n+1){x^2}(1+x)^n≦1

お礼

正のときと別に考えてしまったのですが、ｎ→－ｎでいけますね！
おかげで証明までこぎつけました！
ありがとうございました！

回答No.5

kkkk2222

＜数学的帰納法の問題＞ですね。
普通に出来るのでは。
（x＞-1）もあるので、場合分けは不要です。
＜数学的帰納法＞の理解度が隘路のようです。

【目的の式(1+x)^(k+1)≧1+(k+1)xをどこかにメモするのが常套手段です】

（１）ｎ＝１の時　（左辺）＝1+x、（右辺）＝1+x、でＯＫ
（２）ｎ＝ｋの時に成立を仮定、即
(1+x)^ｋ≧1+ｋx
両辺に(1+x)を掛けて
(1+x)^(k+1)≧（1+ｋx）(1+x)
(1+x)^(k+1)≧1+(ｋ+1)x+x^2≧1+(ｋ+1)x
即　ｎ＝ｋ＋１　の時成立
（３）よって・・・
ーーーーーーーー

お礼

確かにあまり理解できてないみたいですね。
帰納法自体は理解しているつもりだったのですが。。。
つもり、だったみたいです。
すみません。

ｎが正のときは同じやり方でできました。
ありがとうございます。

回答No.4

endlessriver

nが負ならn→-nとして
(1+x)^n≦1/(1-nx)を示せばよい（n=0,1,2,..）。
帰納法で結局、
(1+x)/(1-nx)≦1/(1-(n+1)x)
を示せばよいです。

回答No.3

endlessriver

x＞-1だから、(1+x)>0。帰納法により
(1+x)(1+x)^n≧(1+x)(1+nx)=1+(n+1)x+nx^2≧1+(n+1)x。

回答No.2

koko_u_

数学的帰納法で証明したいんですよね。
n を負の方向にむかって増やして議論するには n ( n <= 0 ) の場合を仮定して n-1 の場合を証明すれば良いのではないですか？ x の範囲による場合わけは不要に見受けられます。

お気付きかもしれませんが、両辺のグラフを書いて、右辺が左辺の(0, 1)での接線であることを議論するのも良いでしょう。

お礼

ｘの場合わけ必要ないですね。
アドバイスありがとうございます！

そうなんですよね。
グラフ書いたら見たまんま答えなんですよね。。。

もうすこしがんばってみます。
ありがとうございました。

回答No.1

mmk2000

右辺を二項定理で展開したら、はじめの2項が右辺と一致してますよね？それを使ったらできそうじゃないですか？確認してないので勘で申し訳ないですが…

お礼

あ、確かにそうですね。
不覚ながら気づきませんでした。
でも、帰納法に用いることはできるのだろうか。。。

ありがとうございました！