４辺固定中心集中荷重のたわみ計算

質問

４辺固定中心集中荷重のたわみ計算をしたいのですが、手伝ってください(＞＜)

長方形のプラスチックの箱の真ん中を集中荷重かけてどれだけたわむのか計算をしたいのですが、
これは４辺固定で大丈夫でしょうか？

いろいろ調べているうちに
http://www.sumitomo-chem.co.jp/acryl/03tech/sht6_sek2.html
をみつけました。
これの3-14に公式が載っているのですが、
このときにたわみ係数っていうのがグラフにあるのですが、材料によってかわってきますよね？
ABS樹脂の場合のものでb/a=1.76の場合のがわかるかたいらっしゃいましたら値を教えてください(＞＜)

回答No.7

inara · ベストアンサー

書籍に出ていたたわみ係数を元に、荷重 1N あたりのたわみ量を計算しました。
ABS樹脂のヤング率の値は種類によって数倍の開きがあるので、その最大値と最小値で計算しました。
書籍には四角い箱のたわみは出ていませんでした（円筒形や球形はあったのですが）。最終的に最大応力が必要ということはないですか？（最大たわみと最大応力の係数がセットで出ていることが多いので）。

【４辺固定された板のたわみ】
辺の長さが a [m] と b [m] ( b > a ) で４辺が固定された長方形の中央に荷重 W [N] をかけたときの最大たわみ δmax [m] は
δmax = α*W*a^2/D ---(1)
で表されます。D は曲げ剛性で D = E*t^3/{ 12*( 1 - ν^2) } [N・m = Pa・m^3]、E は板のヤング率 [Pa]、ν は板のポアソン比になります。
α は b/a に依存する係数で、文献[1]によると、b/a に依存し
b/a = 1 → α = 0.00560
b/a = 1.2 → α = 0.00647
b/a = 1.4 → α = 0.00691
b/a = 1.6 → α = 0.00712
b/a = 1.8 → α = 0.00720
b/a = 2 → α = 0.00722
b/a = ∞ → α = 0.00725

となります。a = 47×10^-3 [m]、b = 83×10^-3 [m] のとき b/a = 1.766 なので α = 0.072 となります。
ABS樹脂のヤング率を、E = 1.51×10^9 ～ 7.1×10^9 [Pa] 、ポアソン比を ν = 0.35 とすれば[2]
δmax/W = α*a^2/D = 0.874×10^-6（E = 7.1 GPa の場合）～4.11×10^-6（E = 1.51 GPa の場合）
10kgを載せたとき、W = 10*9.80 = 98 [N] なので、たわみは 0.086 mm ～ 0.4 mm

【四辺単純支持でのたわみ係数】
書籍[1]の p.143 に四辺単純支持でのたわみ係数が出ていました。四辺が固定されているときより２倍程度の値になっていますので、たわみ量も約２倍です。
b/a = 1 → α = 0.01160
b/a = 1.2 → α = 0.01353
b/a = 1.4 → α = 0.01484
b/a = 1.6 → α = 0.01570
b/a = 1.8 → α = 0.01620
b/a = 2 → α = 0.01651
b/a = ∞ → α = 0.01695

【公式3-14の係数α12について】
公式 3-14 の係数 α12 は、δmax = α12*W*a^2/( E * t^3 ) の係数で、式(1)の係数 α とは次の関係にあります。
α12 = 12*( 1 - ν^2 )*α

ν = 0.35 として α12 に変換すると
b/a = 1 → α12 = 0.00590
b/a = 1.2 → α12 = 0.00681
b/a = 1.4 → α12 = 0.00728
b/a = 1.6 → α12 = 0.00750
b/a = 1.8 → α12 = 0.00758
b/a = 2 → α12 = 0.00760
b/a = ∞ → α12 = 0.00763

ν = 0.30 として α12 に変換すると
b/a = 1 → α12 = 0.00611
b/a = 1.2 → α12 = 0.00707
b/a = 1.4 → α12 = 0.00755
b/a = 1.6 → α12 = 0.00776
b/a = 1.8 → α12 = 0.00786
b/a = 2 → α12 = 0.00788
b/a = ∞ → α12 = 0.00792
となります。住友化学の α12 のグラフ（ b/a = 3 で 0.06 になっている曲線）は、ν = 0.3 としたときの値と思われます。

[1] 【四辺が固定された板の中央に荷重をかけたときのたわみ係数】
b/a に対する α の値は以下の本に数表として出ていたものです。本には計算式（無限級数）も出ているのですが、私の計算結果と数値が合わなかったので数表の値を採用しました。
S.P.Timoshenko, S.Woinowsky-Krieger, "Theory of Plates and Shells", McGraw-Hill, p. 204.

[2] 【ABS樹脂のヤング率・ポアソン比】
ヤング率　　耐衝撃用　　2.06-3.09 [GPa]　　　　　　　　　　　　　　　 http://www.naoe.t.u-tokyo.ac.jp/member/tecnet/qa/qa-61.html
'　　　　　　　耐高衝突性　154～232 [kgf/mm^2] = 1.51-2.28 [GPa] http://cgi.www5a.biglobe.ne.jp/~uchimura/cgi-bin/uconv-j.st.cgi
'　　　　　　　耐熱性　　　　225～281 [kgf/mm^2] = 2.21-2.76 [GPa] http://cgi.www5a.biglobe.ne.jp/~uchimura/cgi-bin/uconv-j.st.cgi
'　　　　　　　GF充てん　　 415～724 [kgf/mm^2] = 4.07-7.10 [GPa] http://cgi.www5a.biglobe.ne.jp/~uchimura/cgi-bin/uconv-j.st.cgi
ポアソン比 0.32～0.35 http://www.naoe.t.u-tokyo.ac.jp/member/tecnet/qa/qa-504.html
'　　　　　　　0.35　　　　 http://www.naoe.t.u-tokyo.ac.jp/member/tecnet/qa/qa-91.html

お礼

おお～～！！こんなに詳しく教えていただきましてありがとうございます！！たくさんの労力と貴重なお時間を割いて教えていただきまして、本当にありがとうございます(＞＜)

D = E*t^3/{ 12*( 1 - ν^2) } [N・m = Pa・m^3]
ってことは、公式3-14より10倍ほど変わってきますね(＞＜)

ちょっと計算してみたんですけど。。。
>ABS樹脂のヤング率を、E = 1.51×10^9 ～ 7.1×10^9 [Pa] 、ポアソン比を ν = 0.35 とすれば[2]
>δmax/W = α*a^2/D = 0.874×10^-6（E = 7.1 GPa の場合）

のところで、8.74×10^-6（E = 7.1 GPa の場合）となってしまいました(；；)
なので10kg荷重すると0.86mmと10倍違ってきちゃったのですが(＠＠)
私はどこを計算間違えちゃったんだろう(涙)

今日はちょっと帰ってくるの遅くてゆっくり見れなかったので、明日ゆっくり見たいと思います☆
もう一度計算しなおしてみます！
あと、
>住友化学の α12 のグラフ（ b/a = 3 で 0.06 になっている曲線）は、ν = 0.3 としたときの値と思われます
ってすごく感動しました！！
私もこうゆうエンジニアを目指したい！！

補足

>a = 47×10^-3 [m]、b = 83×10^-3 [m] のとき b/a = 1.766 なので α = 0.072 となります。
とあるところα = 0.0072ですね！

これでちゃんと計算できました！！！
ありがとございます☆

回答No.8

inara

>とあるところα = 0.0072ですね！

そうです。間違えました。

回答No.6

inara

>一応日曜大工レベルですが、機械科出身なもので・・
私は電子工学科だったので材料力学は全く習っていませんでした。会社でマイクロマシンをやるようになって勉強しました。

>そうゆう本はやっぱり万単位でしょうね
機械科出身ならご存知でしょうが、有名なティモシェンコさんの本です。表紙がペラペラのペーパーバックなので4000円くらいだったと思います（会社で買ったのでなく身銭を切りました）。

回答No.5

inara

>箱のサイズは
了解しました。

>大学の材料力学では、はりのたわみしかのっていない
材料力学をご存知ということは、単なる日曜大工の質問ではないようですね。会社にある本は板の２次元曲げや球体・箱構造のたわみの式がFourier級数（解析解）で出ているものです。

お礼

>材料力学をご存知ということは、単なる日曜大工の質問ではないようですね。
一応日曜大工レベルですが、機械科出身なもので・・
何も考えずに作ったら思ったよりも簡単に箱が壊れちゃったんです(＞＜)

会社ってすごいですね！！
そうゆう本はやっぱり万単位でしょうね(汗)
うう～～すばらしい会社だ！！
よろしくお願いします☆

回答No.4

inara

ANo.2です。
no009さんのコメントは正しいです。箱の側面がある程度膨らみますので、実際には四辺固定と四辺支持の間の値になると思います。

それを考慮して、四辺固定と四辺支持の場合の係数の厳密な値を月曜にお届けしますのでお待ちください。式が出ている本（英語）には箱のたわみの式も出ているかもしれないので、できれば箱のサイズを教えてもらえないでしょうか？箱は完全に閉じているか、フタ状になっている部分があるのかも含めて。

補足

箱のサイズは
縦89×横53×高さ28mm
各面の厚さは3mmです。

なので、
実際に集中荷重をかけるところは、
83×47mmの面です。

箱は、ボルト等で完全に閉じる予定です。

箱のたわみの式まで載っている本ってすごいですね！大学の材料力学では、はりのたわみしかのっていないので、てんぱっていました(＞＜)
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

no009

＞長方形のプラスチックの箱の真ん中を集中荷重かけてどれだけたわむのか計算をしたいのですが、これは４辺固定で大丈夫でしょうか？

四辺固定だと答えが小さめに出るでしょう。近似値は四辺固定と四辺支持の中間くらいの値になると思います。四辺の固定の程度によって変わってきます。

固定で解くと、部材の固定部分が固定部付近の部材が回転しませんので、たわみは小さくなります。
支持で解くと、部材は固定部分？で部材そののもが回転しますので、たわみは大きくなります。

弁当箱の蓋のような場合、蓋の真ん中を押すと、周辺のかかりの部分が上に跳ね上がるのがイメージできますか？かかりと蓋の部分の交点が回転していることを意味しています。この回転の量が固定より大きく、支持より小さいため、たわみ量に影響してきます。
（絵を描くと分かりやすいですが、言葉だけで表現するのは難しいです。）

＞このときにたわみ係数っていうのがグラフにあるのですが、材料によってかわってきますよね

係数には単位はありません。無次元です。材料によって変わるのはＥ：ヤング係数です。

＞b/a=1.76の場合のがわかるかたいらっしゃいましたら値を教えてください。

α12とb/a=1.76の交点を求めればよいのは分かりますが、文字がつぶれてどの曲線がα12なのか、判別できません。
ABS樹脂のヤング係数に関しても知識を持っていません。

お礼

イメージできます！確かにそうですよね。支持での計算もやってみます！
係数についても説明していただきましてありがとうございます！
よくわかりました！

回答No.2

inara

komakomachi さんの参考URLを見ると、b/a = 1.76の場合 α12 = 0.078ですね？（解像度が悪くてよく見えないのですが）。
だとしたら、たわみδ[m] は　δ= 0.078*W*a^2/( E*t^3 )　となります。W は荷重 [Ｎ]、 a は長いほうの辺の長さ [m]、t はABS樹脂の厚さ [m]、E はABS樹脂のヤング率 [Pa] です。この回答の参考URLによると、ＡＢＳ樹脂のヤング率は E = 2.65×10^9 [Pa] ですので、これで計算できるはずです。

四辺固定で集中荷重を受ける板のたわみについての正確な式が書かれている書籍を持っているのですが、会社にあって手元にないので、月曜夜まで待っていただければ、α12 = 0.078 が正しいかどうか、ちゃんと調べてみます。

参考URL：

http://www.geocities.jp/mo_ya_ne/material.html

お礼

詳しく調べていただいてありがとうございますm(__)m
解像度が低くてほんとうにわかりづらいですが、できれば一番上の（おそらくそれはα11だと思いますが・・・）それじゃないことを祈っています。じゃないと値が・・・
差し支えなければ調べていただきたいです(＞＜)
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

river1

はじめまして！
一体化の箱ですので四辺固定として計算しましょう。
撓み量は、材質が変わるとヤング係数が変わります。
上版にあたる断面二次モーメントを計算単位合わせて計算しましょう。
ｂ／ａは、長辺と短辺の比率です。
ご参考まで