イプシロンデルタ論法で

質問

全てのε＞０に対して、n＞NとなるNが存在して～、みたいな表現があると思いますが、私は初めの部分の「あるε＞０」と「すべてのε＞０」は同じ意味だと思います。

しかしこれを証明しようとした場合、あるε＞０（つまり一つの点）についてのみ証明しようとしても、全てのε＞０で証明しなければいけない気がします。このようなギャップはどこから出てくるのでしょうか？

回答No.9

noname#221368 · ベストアンサー

他の方の回答も見て、#5は質問の趣旨に沿ってないかな？と思いました。再チャレンジしてみます。

　まず、#1，#3，#6，#7の方々の仰る事は、全くその通りです。その上で、#2，#4，#8さん達の筋に従った、次の例はどうでしょうか？

　　(1) ε＞0 を仮定する．
　　(2) あるε＞0を考えて、N(ε)を計算し、n＞Nなら、|f(Ａn)－f(x)|＜ε である事を示す．
　　(3) ただしεは、ε＞0であれば、何でも良い．
　　(4) 従って(2)は、εの取り方に寄らないので、
　　　　(∀ε＞0)(∃N)(∀n)(n＞N ⇒ |f(Ａn)－f(x)|＜ε)
　　　を示せた．

　あえて方法名を挙げれば、(1)～(3)は補助定数の方法と言います。補助定数とはεの事です。∀εと言ってるのに、εが定数とはこは如何に？という微妙な違和感がまた生まれるわけですが、恐らくこれは正式用語で、補助定数の方法(1)～(3)と、(4)を直接やっつけるのは同等であると保証されてます。保証の証明は、通常数学一般の人外魔境（超数学，数学基礎論の事です）の入口で行われ、他愛もないものです。というのは、(4)を直接やっつけようと思ったら、(1)～(3)のような手順を実際には踏みますよね？。その入口で行われる「超証明」なるものは、その手順をたんに成文化したものに過ぎません。
　ただし、ε＞0であるのは（そうしたかったんだから）当然として、(1)や(3)を省略すると、後でノートを読み返した時に、自分がその時に何やってたんだかわからなくなる、なんて事は・・・やっぱりあります。だってその場合、(2)しか残ってないわけですから・・・。

回答No.8

funoe

収束するかどうか、敵(?)と戦っている(?議論している）自分を想像してください。

いじわるな敵が、ε>0を指定するわけです。これが大きい値なら問題ないのですが、収束性について戦っている場合、狡猾な敵は、かなり小さめの値を指定してきます。
敵が指定してきた（多くの場合小さめの）εに対し、自分は、あるＮを探さなければなりません。（もちろん、∀ｎ＞N、～～が成り立つような）

敵の指定するどんなεに対しても、Ｎを発見できる手順を発見すればあなたの勝ちです。
－－
一回一回のＮを発見するプロセスはあるεに対して行っていますが、結局「どのようなεに対してでも」Ｎを発見するプロセスが必要なわけです。

回答No.7

Tacosan

質問の意味が不明ですが, 基本的に「全ての～」と「ある～」は全くの別物です.
ちなみに∀ε∃N だと「εごとに N を決めてよい」(これを明記するために N(ε) と書くこともあります) ので, ∃N∀ε (こっちは先に N を固定しておいて, その上でどんなεに対しても) とは意味が違います.
#4 で
『「あるε＞０について」とは、
自分の好きな任意のεに対して　という意味です。』
とありますが, これは普通の解釈じゃないと思う. 「ある」を「任意の」と解釈するのはちょっと無理筋じゃないかなぁ. 条件を満たすε>0 が存在しさえすればいい, というのが普通の解釈でしょう.
まあそう解釈しても「じゃあ, あなたの嫌いなεに対しては成り立たないかもしれないんですね」という屁理屈を持ち出されると困りそう.

回答No.6

mis_take

日本語で書くと，このような誤解が生じるので，論理記号を使うといいでしょう。
∀ε>0∃N∀n>N(～)

回答No.5

noname#221368

自分も似たような違和感を覚えた事があります。こういう事かな？と思いました。例えば、

　　(1) 全てのε＞0に対して、あるＮが存在し、n>Ｎなら、|f(Ａn)－f(x)|<ε．

　自分はこれを、次のように読み替えています。

　　(1') 各ε＞0に対し、それぞれＮが存在し、n>Ｎなら、|f(Ａn)－f(x)|<ε．

一方、次の言い回しについては以下です。

　　(2) あるＮが存在し、全てのε＞0に対して、n>Ｎなら、|f(Ａn)－f(x)|<ε．
　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　(2') 固定したＮがあり、それに対しては任意のε＞0であっても、n>Ｎなら、|f(Ａn)－f(x)|<ε．

　ただ、(1)と(2)は混同して用いられる事もあり、文脈によって判断しなければならない場合もあると思います。自分もかなり混乱した覚えがあります。

回答No.4

vingbing

「証明の内容で、証明の内容で、あるε＞０について｜n＞Nとなるnの式｜＜εが成り立った。∴証明された。とありますが、これは全てのε＞０について成り立ったといえるのでしょうか？｜n＞Nとなるnの式｜＜εが成り立った。∴証明された。とありますが、これは全てのε＞０について成り立ったといえるのでしょうか？」

いえます。

もちろん、なにを示すかによるのですが、
上に書かれている場合には、それで十分なのです。

先の回答ですこし言葉がたりなかったかもしれませんので、
詳しく書きますと、
「あるε＞０について」とは、
自分の好きな任意のεに対して　という意味です。
で、
この「あるε」には、「特定のN」が存在して、
そのNに対してどうのこうの、、
という論理展開なのです。
これは、すべてのεに対して、「同一ではない」それぞれのεに対応した
Nを選ぶことで、そうなるということです。
それだけで十分なのです。

たとえば、ある閉集合が有界であることを示す場合とか、、
積分が収束することを示す場合とか、、、

回答No.3

mis_take

> あるε＞０について｜n＞Nとなるnの式｜＜εが成り立った

あるεでよければ， εとして 10^1000000000000 のような大きな数をとってくれば
｜n＞Nとなるnの式｜＜ε
は成り立ってしまうでしょう。

「ある」ではなくて「すべての」でなくてはいけません。

「全てのε＞０に対して、n＞NとなるNが存在して～」
ではなく
「すべてのε＞０について，あるNについて，すべてのn>Nについて，～」
です

回答No.2

vingbing

これは、まあ、大体、ご想像の通りですが、
よくよく考えると
「全てのε＞０に対して、n＞NとなるNが存在して～、」みたいに
ご自分でも書かれている通り、
勝手にεをとってくると、そのεに対応したNが必ず存在することを
主張しているので、すなわち勝手などんなεに対しても、、、
といっていることになるので、まったくギャップはないのです。
ご安心を。
＃ぼくも最初のころは変だなと思いましたが、、

お礼

２つの回答のお礼をここでさせてもらいます。２つの回答の言っている事は違うと思うのですが、それぞれの言ってる事になるほどと思ってしまい、思うように考えがまとまらない状態です。

証明の内容で、あるε＞０について｜n＞Nとなるnの式｜＜εが成り立った。∴証明された。とありますが、これは全てのε＞０について成り立ったといえるのでしょうか？

回答No.1

mgsinx

「あるε＞０」と「すべてのε＞０」は全く意味が異なります。
例を挙げると、
　「あるε＞０について、ε＜100が成立する。」は真。
　　　（ε＜100を満たすεが少なくとも1つ存在していれば良いのです。　例：50）
　「すべてのε＞０について、ε＜100が成立する。」は偽。（反例：１００≦εであるε）
　　　（全てのεがε＜100を満たしていなければなりません。）

「あるε＞０（つまり一つの点）について」を証明する場合は、条件を満たすεを1つ見つければいいだけです。