因数分解の問題

質問

(a^2+a)x^3+(2a+1)x^2-ax-1
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2
がどうしても分かりません。
どうかお助けを…

回答No.1

sayuri-711 · ベストアンサー

まず最初の問題は
aについて整理して
(a^2+a)x^3+(2a+1)x^2-ax-1
=x^3*a^2+(x^3+2x^2-x)*a+x^2-1 （*はかけるです）
ここでx^3=x*x^2であり、x^2-1=(x+1)(x-1)であることを利用して
x^3*a^2+(x^3+2x^2-x)*a+x^2-1
={x*a+(x+1)}{x^2*a+(x-1)} 最後にxについて整理して
={(a+1)x+1}(ax^2+x-1)
こんなふうになると思います
わからないときはさらに質問ください

お礼

パチッ☆-(^ー'*)bナルホド！
aについて整理するのですね！！
因数分解ってなかなか難しいですね！
どこに着目していいか分からないですよ～

回答No.7

zabuzaburo

じゃ、邪道って!?
えーと、全ての2次式は
(1次式)×(1次式)に因数分解できるのですが、
先ほどの(2)のように
結果の係数が無理数になるようなものは
中学生には難しい(?)ので、
因数分解ができなくても許されていた、
ということだと思います。
(2)を見て「積が-1、和が2となる数の組合せは……」
と考えて「あっ、1 + √2と1 - √2だな」
なんて思いつく中学生がいたらこわい(^^;)

ところで、複素数はもう習いましたか？
2次式によっては
因数分解したあとの係数が
虚数になる場合もあります。
例えば、
(3)x^2 - 6x + 10
平方完成すると
= (x - 3)^2 + 1
= (x - 3)^2 - (-1)
となり、無理やり(-1)を●^2の形にしないといけません。
どんな実数も2乗すれば0以上になりますから、
「2 = (√2)^2」どころの騒ぎではありません。
虚数を用いれば「i^2 = -1」から
= (x - 3)^2 - i^2
= (x - 3 + i)(x - 3 - i)
となります。

回答No.6

zabuzaburo

「お礼」を拝見しました。
>でも素でこれをできる自信がありません。
因数分解の問題なのにいきなり平方完成が出てきたことも一因でしょうね(^^;)
理解を深めるために、いくつか簡単な2次式の因数分解を見てみましょう。
(1)3x^2 + x - 2
平方完成すると
= 3(x + 1/6)^2 - 3・(1/6)^2 - 2
= 3(x + 1/6)^2 - 25/12
3でくくると
= 3[(x + 1/6)^2 - 25/36]
= 3[(x + 1/6)^2 - (5/6)^2]
[……]内は「●^2 - ■^2」ですから、
= 3[(x + 1/6) + 5/6][(x + 1/6) - 5/6]
= 3(x + 1)(x - 2/3)
(= (x + 1)(3x - 2))
と因数分解できます。言ってみれば
「無理やり『●^2 - ■^2』を作る」わけです。
このめんどくさい計算を、「たすき掛け」は
一気にすっ飛ばしてくれる可能性を秘めているわけです。

(2)x^2 - 2x - 1
これは実は「たすき掛け」では無理なのですが、
(1)と同じ方法でやってみましょう。
まず平方完成して
= (x - 1)^2 - 2
ここで後ろの「2」を無理やり「(√2)^2」と見て
= (x - 1)^2 - (√2)^2
= (x - 1 + √2)(x - 1 - √2)
となります。

お礼

たすき掛けってすごいですねぇ～
そういえば（２）の因数分解で√を使うのは邪道だと聞いた覚えがあるのですが…中学の時かな？？
高校では√を使うのは普通なのですか？

回答No.5

sayuri-711

さらに次の問題は
aについて整理します
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2
=a^4-2(b^2+c^2)a^2+(b^4-2b^2*c^2+c^4)
=a^4-2(b^2+c^2)a^2+(b^2-c^2)^2
=a^4-2(b^2+c^2)a^2+{(b+c)(b-c)}^2
=a^4-2(b^2+c^2)a^2+(b+c)^2*(b-c)^2
={a^2-(b+c)^2}{a^2-(b-c)^2}
=(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)
こんな感じだと思います

お礼

ＮＯ２の方とはちょっと違ったバージョンですね。
>=a^4-2(b^2+c^2)a^2+(b+c)^2*(b-c)^2
>={a^2-(b+c)^2}{a^2-(b-c)^2}
ココがちょっとめんどくさいかもですね。
たすき掛けの確かめが…
でも出来ました！！
ありがとうございました

回答No.4

KaitoTVGAMEKOZOU

質問検索のところで「因数分解」と引くといろいろ出てくるよ。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=235735

お礼

参考ＵＲＬに載っていた因数分解法参考になりそうです。
印刷して取っておこう！

回答No.3

wolv

ヒント

ひとつめは，
展開して，aに関してまとめるとよさそうです．
ｘだと３次方程式として考えなきゃならんけど，
ａについては２次方程式なので，たぶん見通しがよくなります．

２つめは，a^2 = Aなどとおきなおすと見通しがよくなります．

このヒントを元にして，やってみてください．

途中でまたつまったら，できたとこまでを補足してください．
------------------------------------------------------------
って，もう回答No1がありましたね．...

お礼

ヒント下さってありがとうございます。
私のことを考えてヒントだけに留まってくださったのですね。
感謝します
（とは言っても他の人が答えてくださってますが・・・）
別に他の人を責めているわけでは全然ありません。

ありがとうございます

回答No.2

zabuzaburo

(2)aについて整理すると
a^4 - 2(b^2 + c^2)a^2 + (b^4 - 2b^2c^2 + c^4)
a^2について平方完成して
[a^2 - (b^2 + c^2)]^2 - (b^2 + c^2)^2 + (b^4 - 2b^2c^2 + c^4)
[……]^2よりも後ろのb,cだけの部分を計算すると
- (b^4 + 2b^2c^2 + c^4) + (b^4 - 2b^2c^2 + c^4)
=-4b^2c^2
したがって全体は
[a^2 - (b^2 + c^2)]^2 - 4b^2c^2
=[a^2 - (b^2 + c^2)]^2 - (2bc)^2
●^2 - ■^2 = (● + ■)(● + ■)を用いて
[a^2 - (b^2 + c^2) + 2bc][a^2 - (b^2 + c^2) - 2bc]
=[a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)]{[a^2 - (b^2 + 2bc + c^2]
=[a^2 - (b - c)^2][a^2 - (b + c)^2]
=[a + (b - c)][a - (b - c)][a + (b + c)][a - (b + c)]
=(a + b - c)(a - b + c)(a + b + c)(a - b - c)
式の美しさを考慮しなければここまででOKです。

お礼

これも今やっとおわりました。
数学ってよく出来てますね！！
でも素でこれをできる自信がありません。
ん～