【三角形の合同条件】２角挟辺？２角１辺？

質問

数学を教えているときに、中学生の娘に問われてハタと考え込んでしまいました▲娘曰く「三角形の２角（角Ａと角Ｂ）と挟んでいない１辺（辺ＡＣ）が同じなら、２つの三角形は合同ではないの？」▲考えてみれば、三角形の内角の和は180度なのですから、角Ａと角Ｂがそれぞれ同じならば角Ｃも同じ大きさになるわけですよね。この時点で角Ａと角Ｃ、さらに辺ＡＣが既に同じ長さだと分かるわけです。これで２辺挟角が成立。従って２つの三角形は合同...▲つまり「２角挟辺」ではなくて「２角１辺」が相等しいならば、その時点で２つの三角形は合同である、と言えるのではないか、というのが娘の疑問です▲昔から何の疑問もなしに「三角形の合同条件」を丸暗記していた私には、至極尤もな意見であるように思えると同時に、それに対する明確な答えが分かりません。どなたか、ぜひお助け下さい！▲ちなみに「２辺挟角」が「２辺１角」では合同にならないことは理解できています▲ややこしくて、申し訳ありません。どうぞよろしくお願いします。

回答No.5

puni2 · ベストアンサー

数学の問題というより，言葉の問題かも知れません。

「2角挟辺」をきちんと表してみましょう。

二つの三角形を，△ABC，△A'B'C'とするとき，
∠A＝∠A'
∠B＝∠B'
AB＝A'B'
が（全て）成り立つならば，△ABC≡△A'B'C'

このとき，結果的に∠C＝∠C'も成り立っています。
では，同じように「2角1辺」を式に直してみましょうか。

二つの三角形を，△ABC，△A'B'C'とするとき，
∠A＝∠A'
∠B＝∠B'
（従って結果的に，∠C＝∠C'でもある）

…ここまでは良いのです。問題はその次です。
「1つの辺が等しい」
これをどう解釈するか。
「対応する1つの辺が等しい」と解釈すれば，AB＝A'B'か，BC＝B'C'か，CA＝C'A'のどれかということになります。
この場合は，その辺の両サイドの角について考えれば，質問者さんがおっしゃるとおり，2角挟辺に帰着しますので，合同になります。
つまり，「対応する2角が等しく，またそれと同じ対応関係のもとで対応する1つの辺が等しければ，合同」です。

しかし，これを省略して「2角1辺」といってしまうと，「それと同じ対応関係のもとで対応する1つの辺」という条件を忘れてしまって，単に「1つの辺が等しい」というだけの意味で解釈されてしまう危険性があります。
そうすると，既出のように，たとえばAB＝ACなどのようなケースも入ってきてしまいます。
つまり，例えば「∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，AB＝AC」も含まれるのかな，
と思う人が出てくるおそれがあります。
そういう誤解の生まれる余地のないように，「2角挟辺」という表現になっているのではないかと思います。

ちなみに，残りの2つの合同条件は「2辺挟角」と「3辺」ですが，
>「２辺挟角」が「２辺１角」では合同にならないことは理解できています
とのことですので，最後の「3辺」について一言触れておきますと，三角形ですので，「3辺が等しい」のであれば，どう対応させようとも，合同になってしまうのです。（はしょった表現ですが通じるでしょうか）

お礼

とても良くわかる説明で助かりました！ありがとうございました！

回答No.6

mis_take

▲問題を整理し直すと...「角Ａ＝角Ａ’」「角Ｂ＝角Ｂ’」「辺ＡＣ＝辺Ａ’Ｃ’」が各々相等であるときに、二つの三角形は合同と言える
か、ということになります

単に「二角一辺」と言った時に，↑のように限定して考えることは意味しないでしょうね。
「対応する二角一辺」とか言わないと。
なお「三辺」の場合，対応すると言わなくても大丈夫ですね。

お礼

なにを勘違いしていたのか、よく分かりました。ありがとうございます！

回答No.4

fool_ish

> 問題を整理し直すと...
> 「角Ａ＝角Ａ’」「角Ｂ＝角Ｂ’」「辺ＡＣ＝辺Ａ’Ｃ’」が各々相等であるときに、
> 二つの三角形は合同と言えるか、ということになります
2つの三角形ABCと，A'B'C'とがあって，上記の条件をみたすとき，
当然，ABCとA'B'C'とは合同である．この主張は正しい．

しかし，それを「2角1辺」などと言い換えてはならない，
というのが，#1の指摘であり，これも正しい．
つまり，
> 「２角挟辺」ではなくて「２角１辺」が相等しいならば、
> その時点で２つの三角形は合同である、と言えるのではないか
こちらは正しくない．
「2角1辺」の「1辺」が，対応する角に隣り合う辺である，という条件が必要であるが，
単純に「2角1辺」だけではその条件が見えず，正しい表現ではない．

回答No.3

MACHSHAKE

つまり同じ事です。
角A＝角A'
角B＝角B’
と言うことは角C＝角C’
つまり角Aと角Cに挟まれるACの長さが一緒なら結局は「２角挟辺」てことでしょ？

補足

ありがとうございます。「２角１辺」が相等しければ、すなわち「２角挟辺」になる、ということであれば、すなわち「２角１辺」が同じ時点で既に２つの三角形は合同であると言えるのではないか？ということを疑問に思っています。なぜわざわざ「挟まれた辺」が合同でなければならないのか、「２つの角と（挟まれていなくても）１つの辺」が同じならば、その時点で三角形は合同と言えるように思うのですが...。

回答No.2

wing-777

合同の意味から考えてください。合同二つの図形が全く同じであるということを数学的に表した概念とはです。
なので角Ｃが同じでも辺ＡＢと辺ＢＣの長さが違うことがあるので合同とはいえません。相似なら言えるかもしれませんが。（相似条件忘れましたが。）

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C

回答No.1

tatsumi01

角Ｃは確かに等しくなります。角Ｃと角Ｃ’と書きましょう。

しかし、等しい一辺の両側の角度はどういう状況でしょうか。一方の三角形では角Ａと角Ｃが両側にあり、他方の三角形では角Ｂ’と角Ｃ’が両側にあるかも知れません。

したがって、一辺二角では必ず合同になるとは限らないのです。

お礼

あああ！なるほど、そういうことなんですね。自分の勘違いがどこにあったのか、よく分かりました！ありがとうございます

補足

ご意見をありがとうございます▲問題を整理し直すと...「角Ａ＝角Ａ’」「角Ｂ＝角Ｂ’」「辺ＡＣ＝辺Ａ’Ｃ’」が各々相等であるときに、二つの三角形は合同と言えるか、ということになります▲従って、ご指摘の「他方の三角形では角Ｂ’と角Ｃ’が両側にあるかも知れない」ということにはならず、等しい辺の両側の角度は、問題に示す条件により「角Ａと角Ｃ」「角Ａ’と角Ｃ’」になるように思えます▲私の側に勘違い・思い込みがあるのかも知れません。ご容赦下さい。