空な組の集合って?

質問

こんばんは。

Aを集合とする時、
A×A={{{a1},{a1,a2}};a1,a2∈A}ですよね。
A×A×Aは(A×A)×Aと考えて、
A×A×A={{{a1},{a1,a2}};a1∈A×A,a2∈A}
A×A×A×Aは(A×A×A)×Aと考えて、、以下同様。
の定義されると思います。
で、結局、n個の場合の定義は
A^n={{{a1},{a1,a2}};a1∈A^(n-1),a2∈A}
だと思います。
以前に集合の本にA1はAの事と定め、A0は空な組の集合で空集合と区別されると見かけたのですが、
空な組の集合って内延的記法{?}で具体的に表すとどのようになるのでしょうか?

回答No.1

yumisamisiidesu · ベストアンサー

ご質問文の中で空な組の集合の定義が書いてありませんが
Φを空集合とすると
(Φ,Φ)でしょうか？
もしそうであれば{{Φ},{Φ,Φ}}＝{{Φ}}ではないでしょうか?

お礼

有難うございます。

> ご質問文の中で空な組の集合の定義が書いてありませんが
A^0={( )}
とだけ書いてありました。
それで{( )}って何のことか疑問に思いました。

回答No.2

Tacosan

んっと, 本来 A^n というのは n ≧ 2 でしか定義されないわけですが, これを n = 1 や n = 0 の場合にも拡張しようということではないかなぁ?
A×A の元である {{a1}, {a1, a2}} は順序対 (a1, a2) と同一視できます. つまり A^2 = A×A は「2個の A の元からなる順序対の集合」と等価です. 同様に, A^n は「n個の A の元からなる順序対の集合」と等価になります.
これを n = 1 に拡張すると, A^1 は「1個の A の元からなる順序対の集合」, すなわち {(a) | a ∈ A} と考えられるんだけどこれは自然に A そのものと同一視できます. さらに, A^0 というのを考えると「0個の A の元からなる順序対の集合」となり, 「要素が 0個の順序対」は () としか書きようがないので A^0 = { () } となっているんではないかな?

お礼

有難うございます。今後の参考にさせていただきたいと思います。