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空な組の集合って?
こんばんは。 Aを集合とする時、 A×A={{{a1},{a1,a2}};a1,a2∈A}ですよね。 A×A×Aは(A×A)×Aと考えて、 A×A×A={{{a1},{a1,a2}};a1∈A×A,a2∈A} A×A×A×Aは(A×A×A)×Aと考えて、、以下同様。 の定義されると思います。 で、結局、n個の場合の定義は A^n={{{a1},{a1,a2}};a1∈A^(n-1),a2∈A} だと思います。 以前に集合の本にA1はAの事と定め、A0は空な組の集合で空集合と区別されると見かけたのですが、 空な組の集合って内延的記法{?}で具体的に表すとどのようになるのでしょうか?
- matsui888
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ご質問文の中で空な組の集合の定義が書いてありませんが Φを空集合とすると (Φ,Φ)でしょうか? もしそうであれば{{Φ},{Φ,Φ}}={{Φ}}ではないでしょうか?
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- Tacosan
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んっと, 本来 A^n というのは n ≧ 2 でしか定義されないわけですが, これを n = 1 や n = 0 の場合にも拡張しようということではないかなぁ? A×A の元である {{a1}, {a1, a2}} は順序対 (a1, a2) と同一視できます. つまり A^2 = A×A は「2個の A の元からなる順序対の集合」と等価です. 同様に, A^n は「n個の A の元からなる順序対の集合」と等価になります. これを n = 1 に拡張すると, A^1 は「1個の A の元からなる順序対の集合」, すなわち {(a) | a ∈ A} と考えられるんだけどこれは自然に A そのものと同一視できます. さらに, A^0 というのを考えると「0個の A の元からなる順序対の集合」となり, 「要素が 0個の順序対」は () としか書きようがないので A^0 = { () } となっているんではないかな?
お礼
有難うございます。今後の参考にさせていただきたいと思います。
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有難うございます。 > ご質問文の中で空な組の集合の定義が書いてありませんが A^0={( )} とだけ書いてありました。 それで{( )}って何のことか疑問に思いました。