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最小値の求めかた

(x^2)+x+1≦a*{(x^2)+1}がすべての実数xに対して成立するようなaの最小値をどのように求めるのか教えてください 与式より,(a-1)x2-x+a-1≧0 …(1) (1)がすべての実数 x について成り立つための条件は,  x2 の係数 a-1>0 …(2) 判別式D= (ー1)^2-4(a-1)^2≦0 …(3)の≦0が不等式が分かりません。 全ての実数だから≧0ではないのでようか? (2)と(3)をまとめて a>1 (2a-1)(2a-3)≧0 a=1/2,2/3 からどのようにaの範囲を求めるのか分かりません。

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  • lick6
  • ベストアンサー率32% (25/77)
回答No.4

判別式とは実数解が存在するかを見るもので (a - 1)x^2 - x + a - 1 = 0 ----※ の判別式Dについて   ・D > 0 のとき ※ は異なる二つの実数解を持つ つまりこれは y = (a - 1)x^2 - x + a - 1 がx軸と二箇所で交わるという意味でそうなるとグラフを考えれば「0以下」の部分が出てきてしまってダメですよね。   ・D = 0 のとき ※ は一つの重解をもつ これはx軸に接しているということでぎりぎり「0以上」を満たしています。   ・D < 0 のとき ※ は異なる二つの虚数解を持つ 虚数解があるというのは実数解がないということ。 つまり、「x軸と交わりすらしない」ということで「下に凸」という条件があれば「0以上」どころか「0より常に大きい」ということになります。 ちなみに結局同じことになるのですが、下のようにしても解けます。 (a - 1)x^2 - x + a - 1 ≧ 0 --------(1) (1)が常に成り立つには x^2 の係数について a - 1 > 0 --------(2) (1)の左辺を平方完成すると  (a - 1){x - 1/2(a-1)}^2 - 1/4(a-1) + a - 1   よって(1)の左辺は x = 1/2(a-1) のとき最小値 -1/4(a-1) + a - 1 をとる   つまり -1/4(a-1) + a - 1 ≧ 0 であればよい  (2)から a > 1 なので両辺に 4(a-1) をかけて   -1 + 4(a - 1)^2 ≧ 0   4a^2 - 8a + 3 ≧ 0   (2a - 1)(2a - 3) ≧ 0   a ≦ 1/2 , 3/2 ≦ a  a > 1 から 3/2 ≦ a よって a の最小値は 3/2

suika_11
質問者

お礼

丁寧な説明ありがとうございました

その他の回答 (3)

  • tthe_mine
  • ベストアンサー率46% (19/41)
回答No.3

最後書き間違った。 (3)式から a <= 1/2 or a >= 3/2 … (3)' が導かれます。 (2)' と (3)' を同時に満たす a の範囲は a >= 3/2 です。

  • kakkysan
  • ベストアンサー率37% (190/511)
回答No.2

(1)式は  xに関しての2次関数、y=(a-1)x^2-x+a-1で 全てのxについて y≧0 になる そうなるためには y=(a-1)x^2-x+a-1 のグラフは 下に凸…(2) x軸より上(D<0)またはx軸と接する(D=0)…(3) (2)と(3)をまとめて (2)よりa>1…{2} (3)より(2a-1)(2a-3)≧0…この不等式を解くと a≦1/2 または 3/2≦a…{3} 後は{2}、{3}の共通範囲を求める ◎次の事を復習してください ○2次不等式の解法 ○2次関数のグラフと x軸・判別式の関係・2次方程式の解・2次不等式の解との関係

suika_11
質問者

お礼

指摘どうもありがとうございました。 参考になりました

  • tthe_mine
  • ベストアンサー率46% (19/41)
回答No.1

(1)式ですが、xの一次式(a=1)だとすると -x >= 0 となり、全ての実数 x で成り立たなくなります。よって a != 1 ですね。 そうすると(1)式は x の二次式です。二次式が常に >= 0 であるためにはグラフにしたときに下に凸でなければなりません。下に凸なので x^2 の係数は正になります。これが(2)式です。 下に凸な二次式が常に >= 0 であるためには、解を持たないか、重解をひとつ持つ必要があります。そのため(3)式が導かれます。 (2)式から a > 1 … (2)' が導かれます。 (3)式から a <= 1/2 or a >= 2/3 … (3)' が導かれます。 (2)' と (3)' を同時に満たす a の範囲は a >= 2/3 です。 久しぶりに高校数学の問題思い出しながらやってるので、間違ってたらごめんね。

suika_11
質問者

お礼

解説どうもありがとうございました。 とても参考になりました。

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