累乗の積分

質問

１０＾ｔ　１０のｔ乗という意味です
∫１０^t　dx　を積分すると、１０^t/log10　になるんですけど、なぜこうなるのか、詳しく教えてください。

参考書は途中計算などが飛ばしてあるので、よくわかりません。
何方かご教授ください。

回答No.1

y_akkie · ベストアンサー

10^tをtで微分すると、
(10^t) ' = 10^t log10

になります。この関係を利用して
積分をします。

(10^t)'/1og10 = 10^t
∫(10^t)'/log10 dt = ∫10^t dt

左辺を積分すれば、
10^t/log10 = ∫10^t dt

よって、∫10^t dt=10^t/log10になる事が分かります。

お礼

大変よく解かりました。　ありがとうございます

回答No.4

tobenaitori

導き方は前の方たちのようになると思います。

論点が少しずれると思いますが、これは公式として覚えておく程度だと思います。

a^xをxで微分するとlog(a)*a^x
a^xをxについて積分するとa^x/log(a)

お礼

ありがとうございました。　暗記は全部しましたよ

回答No.3

noname#101087

>∫１０^t　dx　を積分すると、１０^t/log10　になるんですけど...

本質的には前の方々のコメントと同値ですが....。

10^t=e^(t*log10) なので、t*log10=x の変数変換を使います。
10^t=e^x, dt=dx/log10 ですから、
∫10^t dt=(1/log10) ∫e^x dx=e^x/log10

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

age_momo

#1さんが本格的に回答されていますが、少しくずして説明すると

∫x^3dx=1/4*x^4+C

としますね。これはx^4を微分すると4x^3なので初めから1/4をかけておけばx^3になると
予想できるから

∫x^n　dx=1/n*x^n+C

としておけばいいと習いませんでしたか？
指数関数も同様で

10^t

は微分すると

log10*10^t

と係数がつくだけなのですから、これを予想してあらかじめ割っておけばよいと予想できます。
だから

∫10^t　dt=10^t/log10＋C

です。なぜ、10^tを微分するとlog10*10^tになるかは微分のところを復習してください。

お礼

ありがとうございました。