図形の性質を感覚的に理解できるようになりたい

質問

先日やった数学Aの図形証明問題の話ですが、解答の途中に
「四角形ABCDにおいて、AB:CB=AD:CDだから∠Bと∠Dの二等分線はAC上で交わる」
という旨のことが書かれていて「なんでAB:CB=AD:CDだとAC上で交わるの？」と、そこで思考停止してしまいました。
先生に聞いてなんとか文字上では理解できたような気がしないでもないですけど、
こんな理解度のものを実際に応用して使うなんて不可能です。

この問題のことに限らず、私は図形問題が超がつくほど苦手です。
なんとか図形の性質を感覚的に理解できて、使いこなせるようにしたいです。
「丁寧に」指導してくれる本・または対策法を知っていたらどうか教えてください。

回答No.3

yanasawa · ベストアンサー

Polyaの「いかにして問題を解くか」でも読んでみますか？

それはさておき、

＜証明について＞
　証明は、先頭から結論に向かって考えることは難しいと思います。よく分かる人がやるとパパパパッと証明を書いているように見えますが、実は頭の中では結論からさかのぼっている場合が多いのです。「この結論になるためには」「そのためには」「そのためには」・・・と、さかのぼってみてはいかがでしょうか。

＜幾何について＞
　大学の幾何で参考になったことは、「そうなったとしてみよ」と考え、あとにできた図形の交点、交線などの特徴を調べてみることが非常に有効であるということです。そうすればその中に、「元の図形はこういう特徴がなければならない」というものが発見できたりします。

　答を見て、「何でこんなうまい方法を思いつくんだ？」と思っても、「パターンを全部覚えるしかないんだなあ」とか、または「俺はそんなに優秀じゃねーよ！」と考える必要はありません。

　参考になったでしょうか。

お礼

＞「いかにして問題を解くか」
調べてみましたが、まさに私にぴったりの本っぽいです！早速取り寄せてみようと思います。
結論から遡るという考え、参考になります。今度の機会にまた試してみます。

回答No.2

thiku-rin

私からのアドバイスですが、直感で分からなければ
理詰めで考えて見られてはどうでしょうか。
図形問題に限らず高校の数学は直感に頼らずに
理詰めで考えて理解できるものだと思うのです。
質問者様が例として挙げられている問題の場合

∠Bの二等分線とACの交点をM とすると、
AB:CB=AM:CM です
∠Cの二等分線とACの交点をN とすると、
AD:CD=AN:CN です
この証明は下記URLをご参考になさってください
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/heimenkika/nitoubunnsenn.html

AB:CB=AD:CD より
AM:CM=AN:CN
したがって M=N となり、
「∠Bと∠Dの二等分線はAC上で交わる」
となります

「感覚的に問題が解ける」というのは天才以外には反復練習の結果です。
最初は色々考えてやっていたことが無意識で出来るようになると言うだけなんです。
「高校の数学」には出題範囲があります。
ですから、出題者としては全く新しい問題を作ることは非常に難しいのではないかなぁと。
逆に考えると、問題を解く側とすれば多くの問題をやっておけば
「感覚的に問題が解ける」ようになるのでは、と思います。

直接の回答ではなくて申し訳ありません。参考になれば幸いです。
勉強がんばってください。

お礼

理詰めで覚えてると、証明自体はできてもその事実を使った応用問題で手が止まっちゃうんですよね・・・
それで、感覚的にするにはやっぱり反復練習しまくるしかありませんか・・・ご意見どうもありがとうございます。

回答No.1

ap10

対策としては、三角形の図形証明問題を一通り全てやるといいです

三角形の証明は、辺が直線でのみ構成される多角形全てに通用します
三角形の証明ができれば、その応用で全ての多角形の証明問題が解けると言い換えても過言じゃないです

挙げられた例（AB:CB=AD:CDだから∠Bと∠Dの二等分線はAC上で交わる）も、基本的に三角形の証明で理解できます

まずは基礎（三角形の証明）をおさえて下さいな

お礼

なるほど、まずは三角形からですか。
中学校の教科書を探してそこからもう一回やってみます！