無理数の大小

質問

2007年のセンター試験の数学IＡの第２問の(1)の最後の方にある問題についてなのですが、ネットで閲覧できる種々の解答を見ると、3-√6 と　2-√2 　の大小を比較した場合、当然のように　2-√2　の方が大きいという前提で解答されていますが、私にはこれがよく分かりません…というのも、確かに√2と、√6の近似値を小数点第２位まで覚えていた場合だと、悩む事なく 3-√6 < 2-√2 と判断できますが…√6の値を2.4としか覚えていなかった私の場合、これらの大小の判断ができず困りました（別に私は受験生ではないですが…）。数IＡの勉強を終えた学力レベルの高校生にとって、もし仮りに√6の近似値を2.4としか覚えていなかった場合、3-√6 と2-√2の大小について、判断（証明）できる方法ってあるんでしょうか？　どなたかアドバイスお願いします。

http://www.ftext.org/flash/2007suugakuIA.pdf　←センター解説例

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

最近の数Iでは小数第1位までしか覚えないものなのか疑問に思いますが、それでも判別できる方法がありますので、お伝えします。

　与えられた式を次のように変形して求めるものです。
　　3-√6＝√3(√3-√2)＝1.7(1.7-1.4)＝1.7×0.3＝0.51
　　2-√2＝√2(√2-1)＝1.4(1.4-1)＝1.4×0.4＝0.56

　誤差の大きな数字は、分解して掛け算の形に持っていくと、幾分かは精度のよい値が出てきますが、それを利用した方法です。

　しかし、こんな手間をかける程度でしたら、覚えておいたほうがよほど効率的だと思います。私の時代は最低、小数点以下第3位まで覚えるように言われましたが、良い語呂合わせがあって今でも第7位まで覚えていますよ。
　参考までに書き出しますと、
　　√2＝1.41421456　一夜一夜にひとみごろ（ヒトヨヒトヨニヒトミゴロ）
　　√3＝1.7320508 　人並みに驕れや（ヒトナミニオゴレヤ）
　　√5＝2.2360679 　富士山麓オオム鳴く
などがあります。
　あとは参考URLを張っておきますので、参考にしてください。
http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro.html

お礼

3-√6＝√3(√3-√2)という展開に気づきませんでした。有難うございます。

回答No.3

y_akkie

まず、A=3-√6、B=2-√2とおいて、A-Bの符号によって大小を決定する事
を試みます。
すると、A-B = 1-(√6-√2)になりますが、これでも大小を判定するには
まだ見通しの悪い形になっていると思いますので、今度は式に含まれる1,(√6-√2)に着目しこれらの大小を比較する事を試みます。
だが、そのままの状態では比較しにくいので、今度はそれぞれの数字を
２乗してから比較する事を試みます。これらの数字の２乗はそれぞれ、
1^2=1、 (√6-√2)^2 = 8-√48になりますよね？
ここで、8-√48 > 8-√49 = 8-7 = 1を満たすので、8-√48 > 1により、
√6-√2 > 1になり、さらに、1-(√6-√2) < 0 になるので、A-B < 0
を満たし、よって、A < Bである事が分かります。

この結果を見て分かるとおり、8-√48 > 1はかなりの僅差で不等号が
成立している事が分かりますよね。その差はなんと√49-√48であり
これを実際に計算してみると、0.0717967697...であり、これは
２乗の差であると考えると、まだ序の口の部類であると思います。
そして、実際は√6-√2と1との大小なので、その差は0.0352761804の
誤差しかありません。なので、質問者様のおっしゃる通り、近似値を
用いて大小を比較する場合は最低でも少数第三位までの近似値を必要
とします。
しかし、√2＝1.41...,√6=2.44....は暗記して知っている人がいる
かもしれませんが、全ての平方根の近似値を暗記している事などまず
あり得ないはずです。
ちなみ、自分も√6の近似値の少数第三位までは知りませんでした。
上記の近似値については全て電卓を用いて求めただけに過ぎません。
だが、数学の受験などでは殆どの場合は、近似値が必要であれば問題文
中に与えられているはずです。
例えば、常用対数なんかの近似値もそうです。与えられていない場合は、自力で大小を比較可能という前提での出題だと思われるので、以上のような形で工夫して大小関係を求めるしかないでしょう。

あと、√2の近似値が1.41まで知っている場合は、(2.42)^2 < (√6)^2
になる事を計算により確認すれば、√6-√2 > 2.42-1.414... > 1の
関係を満たすので、これを利用すると言うのも一つの手であると思います。

お礼

丁寧親切な解説…感謝いたします。有難うございます。

回答No.2

koko_u

普通に引き算して考えれば、

(2-√2)-(3-√6) = √6 - √2 - 1 > 0
<=> (√6 - √2)^2 > 1
<=> 4(2 - √3) > 1
<=> 7/4 > √3
<=> 49/16 > 3
<=> 49 > 48

お礼

4(2 - √3) > 1 から先に進めませんでした。大きな発見でした。有難うございます。