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証明
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この問題のベースには、以下のユークリッドの互除法があります。 それを集合論で焼きなおしたものです。 整数係数のx、yの一次方程式 ax＋by＝cは、cがaとbの最大公約数の倍数のとき解を持ち、又解を持つのはその時に限る。 ax+by＝1 ‥‥(1)を満たす整数x、yの特別値を各々α、βとする。 従って、aα＋bβ＝1 ‥‥(2) (1)-(2)より a(x-α)＝b(β-y)‥‥(3)。 x-αとβ-yは共に整数であるから、a＝bの時は (1)は a(x＋y)＝1となり 整数x、yの値はない。 a≠bの時は (3)を満たす整数x、yの値が存在するためには a,bはお互いに素である。 a、bがお互いに素でない場合を考えてください。例えば、a＝2、b＝4の時。 逆に、a,bはお互いに素である時に (1)は整数値を持つ。 このとき、mを整数として、x-α＝bm、β-y＝amが一般解である。
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