図形問題

質問

図形問題なのですが、図形をこちらに書くことが出来ませんので、説明をしますので、わかりずらくなるかも知れませんが、よろしくお願いします。

まず、面積３６cm2の正三角形と、面積２５cm2の正三角形があります。
２５cm2のほうを、▽この向きにして、３６cm2の△に、かさねると、星型みたいになりますよね？
その、星型の、てっぺんの面積を知りたいのですが、これで、問題の意味が
解ってもらえるか、心配です。よろしくお願いします。

回答No.3

noname#6248 · ベストアンサー

面積が36cm2：25cm2と言うことは各辺の比は√36：√25＝６：５になります。
底辺×高さ÷２＝面積ですから底辺と高さが倍になれば面積は４倍と言うことからも判りますね。
そして正三角形の頂点から重心を通り辺まで貫くような線の長さの比は（頂点から重心）：（重心から辺）＝２：１になりますね。

36の△と25の▽の重心が重なっているのであれば上からその星型を二つに切るように補助線を引いてみてください。

※これから先は補助線を基準に言います。
重心から上へ進むとまず25の辺があり、さらに36の頂点がありますよね？
25の辺までは５×（１／３）で、そして36の頂点までは６×(２／３)です。(上の辺の比と重心の比から)
（36△頂点から重心までの距離）－（25▽辺から重心までの距離）で上一つの△の高さが判りますかね…

（36△の高さ）：（上一つの△の高さ）＝６：｛６×(２／３)－５×（１／３）｝

補助線の比がこれなので
面積の比はこの２乗ですよね？
結果として［６の２乗］：［｛６×(２／３)－５×（１／３）｝の２乗］
ですね、運が良いことに36△は36平方センチメートルなので答えは｛６×(２／３)－５×（１／３）｝×｛６×(２／３)－５×（１／３）｝です。

まとめると
・ある平面図形において、辺や対角線の比が　1：2　の時、面積の比は　1の2乗：2の2乗　になる。
・正三角形のある辺の垂直二等分線は重心を通り、その辺の比は１：２になる。
・比の計算
を駆使すれば解けますね…

数学ってどうやったら解けるかが楽しいんですけどね…
と言うことで一つ宿題を追加。

一辺が12ｃｍの正三角形があります、ある１つの辺と平行で、重心を通る線を一本書きました。
そうすると少し小さい正三角形と台形ができますよね？
この二つの面積（小さい正三角形と台形）はどちらが大きいでしょう？
ヒントは上のまとめをよく読んでみてください。
補助線を思い切り引いてみましょう…
大きなお世話かもですが。数学はまず考える事が大切です…
(回答しておいて…と言われたらそれまでですが…)
ちなみにこの問題は補助線を引けるだけ引けば計算無しですんなり解けます…興味があったら解いてみてください…
ヒントは小さい正三角形をたくさん作ってみましょうです…では…

補足

なるほど・・・
で、答えは何になるんでしょうか？？

回答No.4

noname#6248

追記…します…
前の人が答え出てるしなんだかなぁですけど…
｛６×(２／３)－５×（１／３）｝の二乗です…
｛｝内を計算して（１２－５）／３で、その二乗だから。。。（７／３）の二乗で…４９／９＝5.444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444…延々続く…
う～ん…数学教師になりたかった…カテキヨは好きで無償でも良くやってたけど…
数学の面白さをば語りたいっすね。。。
いつか数雑学というホームページでも作ってみよう…(仕事忙しいでいつになるか解らんけど…)

お礼

本当に親切にわかりやすく、いつも、いつも、ありがとうございます。
数学は、とても難しいです。
また、何かありましたら、よろしくおねがいしますね

回答No.2

kumagoro-

二つの三角形の重心を重ねて六芒星のような図形になると仮定して解答します。

まず36cm2の三角形(以後Ａ)の頂点(一番上)と25cm2の三角形(以後Ｂ)の頂点(一番下)を線分で結びます。
するとその線分はＡ、Ｂの重心を通り、Ａ、Ｂの底辺と重心によって四分割されます。
その分割された線分の比は上から、7:5:6:4になります。
（これは垂線が2:1に内分される事や、面積比が36:25の線分比は6:5になる事を使えば出ます。）
よって上にある小さい三角形(おそらく知りたい部分)とＡとの高さの比が7:18となります。

すると面積比は7^2:18^2となるので、
7^2:18^2 = x:36
という式が立ちます。

あとはこれを解けば、
x = 49/9
と出てきます。

約5.4cm2となるので最初の仮定(イメージしている図形)が正しければあっていると思います。

お礼

ありがとうございました。
とても、助かりました。
数学は、いろいろと、考え方があって、難しいです。
出来る人を尊敬してしまいますよ・・・

回答No.1

jppy

想像力がとぼしいおいらには・・・・

出来てる星型って綺麗？
つまり25cm^2の三角形のはみ出てる部分（三つ）
36cm^2のはみ出てる部分（三つ）って
それぞれで同じ大きさなのかな？

ってかそうじゃないと。解けないかも

んでその時の場合のヒント（自分じゃ解けないんで）
ぞれそれの正三角形の重心と二等分線を引いてみりゃでそうです。
解けなかったらごめんなさい・・・・

お礼

ありがとうございました。
わかりずらい説明だったのに、わかってくれて、嬉しかったです。
助かりました。