図形問題の設定について

質問

ある図形に複素数平面を導入する場合、軸は書かなくても良いのでしょうか。原点だけをどこに設定するか書けばよいですか。

それと、図形の問題で「設定」をするときに「ベクトル、複素数平面、座標」とおおきくわけて３つあると思うのですが、このうち複素数平面でも座標でもベクトルは登場してきますよね。逆に純粋にベクトルを導入するということはどういうことなのでしょうか。単にベクトルで考えるより座標で設定した上でベクトルを導入した方がよいかと思うのですが。よろしくお願いします。

回答No.4

mozniac · ベストアンサー

時間が経ってしまいました。本当は一昨日に書いたのですが、投稿されていなかったようで。ごめんなさい。

>もし座標軸を書く場合、図形のどこに引くかで悩むんです。
私なら、回転の軸（中心の方がいいですかね）となる点になるところを原点にもってきますね。あと、問題によりますが、残りのうちの１つを実軸正の部分にとります。

>私が言うまでもないと思うのですが、．．．
ここの部分については、お互いに行き違いがあると思います。
「ベクトルの問題」について書いたつもりなのですが、「図形の問題」とお考えになっておられるようですね。

>ベクトルだけではやれることは限られているのでベクトルのまな板の上より「座標平面」というまな板の上に．．．
もしspace-travelさんが受験生でしたら、違うことに時間を割いていただきたいですね。前にも書きましたが、こんな事考えてくれる・数学に対して前向きな人ってとても貴重です。でも、受験は大丈夫なの？と思ってしまいます。正直言って、前述の「複素数平面での座標のとりかた」を迷っているようでは「おぬし、修行は足りているかい？」と言いたくなっちゃいますね。

「ベクトル+座標」だと、space-travelさんの言うとおりにパワーアップかもしれませんね。ただ、私の私的数学世界において、「いつも」それをするのは意味がないと考えてしまいます。
しかし、私が(ベクトル+座標について)そう思っていても、space-travel博士の新しいベクトル観によって、今の数学を変えるかもしれません。そうなったらいいですね。そうなれるように、より一層修行を積んでください。

good luck！

お礼

楽しいお返事ありがとうございます。

＞私なら、回転の軸（中心の方がいいですかね）となる点になるところを原点にもってきますね。あと、問題によりますが、残りのうちの１つを実軸正の部分にとります。

なるほど、そう置けばすぐ回転の作業に移れるし計算が楽ですね。

＞もしspace-travelさんが受験生でしたら、違うことに時間を割いていただきたいですね。前にも書きましたが、こんな事考えてくれる・数学に対して前向きな人ってとても貴重です。でも、受験は大丈夫なの？と思ってしまいます。正直言って、前述の「複素数平面での座標のとりかた」を迷っているようでは「おぬし、修行は足りているかい？」と言いたくなっちゃいますね。

少し変なことに考えすぎてしまいましたか。いちおう定型問題のほうはひととおり修行したのであれなんですが、今回の質問などは問題を解いていくうちに沸々と疑問がわいてきたんですよ。それで具体的な受験数学の問題から少し離れた感じもしますが。

＞「ベクトル+座標」だと、space-travelさんの言うとおりにパワーアップかもしれませんね。ただ、私の私的数学世界において、「いつも」それをするのは意味がないと考えてしまいます。

日本酒にビールを混ぜるようなもんですかね。少し例えがあれですが(笑)。系統の違う物かもしれませんね。実際「ベクトル+座標」でもどっちかだけで解ける問題も多いですからね。

>しかし、私が(ベクトル+座標について)そう思っていても、space-travel博士の新しいベクトル観によって、今の数学を変えるかもしれません。そうなったらいいですね。そうなれるように、より一層修行を積んでください。

good luck！

Thank you!どうもありがとうございました。

回答No.3

mozniac

せっかくお返事いただいたので、書きますね。

>例えばある３角形があって、．．．回転の操作もできることにはならないのでしょうか？
これは、なりますよ。確かに座標軸を書かなくてもイメージできます。ただ、その後、どんな作業になるのか分からないので、座礁軸を引かないメリットがあるかどうか不明です。

>すいません、ちょっとわからないのですがそれは純粋にベクトルを導入している例なのでしょうか。ベクトルの成分と座標平面が対応していることはわかりますがこれはもとからベクトルが与えられている場合ですよね。
space-travelさんの言う「純粋にベクトルを導入している」ってことが、私にはわかりません。座標平面を導入するのは、設問に書いてあるかベクトルの成分が与えられているときくらいしか、メリットって感じられないですから。

>ベクトルは座標平面で定義されればよいと考えたことはなかったのですが、
ならば、space-travelさんの言われる

「単にベクトルで考えるより座標で設定した上でベクトルを導入した方がよい」

というのは、どういうことなのでしょう？
私は、

『この部分、私は「座標平面でベクトルは使うのだから、ベクトルは座標平面で定義されればよいのでは」と解釈してしまうのですが、』

と書かせてもらったのですが。すいません、私には理解できないです。教えてください。

純粋に感じておられることを書いていただいているようで、感動します。日本にも、こういう方が沢山おられると嬉しいと思います。

補足

＞せっかくお返事いただいたので、書きますね。

どうもありがとうございます。

>>例えばある３角形があって、．．．回転の操作もできることにはならないのでしょうか？
これは、なりますよ。確かに座標軸を書かなくてもイメージできます。ただ、その後、どんな作業になるのか分からないので、座礁軸を引かないメリットがあるかどうか不明です。

もし座標軸を書く場合、図形のどこに引くかで悩むんです。例えば原点をどこに設定するかで場面が変わって上、実軸が図形ををまっぷたつにきったり（象限をまたいだり）するように引けば図形の考察がやりにくくなると思ったのですが。もしかして座標軸を引くときって図形が全部第一象限に収まるように引くものなのでしょうか。そうであればいちいち悩まずにすむのですが。

＞space-travelさんの言う「純粋にベクトルを導入している」ってことが、私にはわかりません。座標平面を導入するのは、設問に書いてあるかベクトルの成分が与えられているときくらいしか、メリットって感じられないですから。

ベクトルの「ベ」の字も出ていない問題をベクトルで考えるというつもりで書きました。そして大きな道具として「ベクトル、複素数平面、座標」とおおきくわけて３つあると思うのですが、図形問題を解くときに「複素数平面、座標」のまな板の上でベクトルを使う場合と、「ベクトル」というまな板の上でベクトルを使う場合の違いをを知りたいと思いました。

＞座標平面を導入するのは、設問に書いてあるかベクトルの成分が与えられているときくらいしか、メリットって感じられないですから。

私が言うまでもないと思うのですが、図形問題を分析的な視点で見るときに有用だと思います。座標を設定して一つ一つの辺をy=axという直線の式で表したり円の方程式を立てたいしていくと簡単に解けていくのでメリットはあると思います。

＞「単にベクトルで考えるより座標で設定した上でベクトルを導入した方がよい」
というのは、どういうことなのでしょう？

ベクトルだけではやれることは限られているのでベクトルのまな板の上より「座標平面」というまな板の上に「ベクトル」という道具を加えるほうが選択肢は広がるんではないかと。座標平面以外でもベクトルを使う例はたくさんあると思うにのですが、座標平面で使ってもベクトルの性質はまったく変わらないと思うのでどうせ使うなら座標平面で使った方が選択肢が増えるしパワーアップすると思ったのですが・・。

＞純粋に感じておられることを書いていただいているようで、感動します。日本にも、こういう方が沢山おられると嬉しいと思います。

どうもありがとうございます！そういっていただけるとうれしいです。もうちょっと頭で考えてから整えて書いた方が混乱されなくて良いといつも思っているのですがなかなか実践できなくて困っています(笑)

回答No.2

mozniac

>ある図形に複素数平面を導入する場合、軸は書かなくても良いのでしょうか。原点だけをどこに設定するか書けばよいですか。
私なら、「複素数平面上に図形をとる」としますが、好みの問題ですかね。まあ、それはおいといて。軸を書かないとすると、点の座標は決まらないですよね。それで議論できるのであればいいのですが、そんな問題なら、複素数平面を導入しなくともいいのでは？と感じてしまいます。

>「ベクトル、複素数平面、座標」
と書かれていますが、space-travelさんの言う「(平面)ベクトル」と「座標」は同じ物、すなわち「座標平面」のことです。複素数平面は見かけは「座標平面」と同じです。が、座標平面では２個の実数の組（a,b）を座標に対応させ、複素数平面では一つの複素数a+biを座標に対応させているところが大きく違います。

>このうち複素数平面でも座標でもベクトルは登場してきますよね。
ベクトルは平行移動、複素数は回転移動が得意なので、複素数平面にベクトルを導入するメリットは大きいです。

>逆に純粋にベクトルを導入するということはどういうことなのでしょうか。
(平面)ベクトルが成分で表示されるとき、座標平面に書いてあげると、見やすい場合があるから書くのです。

>単にベクトルで考えるより座標で設定した上でベクトルを導入した方がよいかと思うのですが。
この部分、私は「座標平面でベクトルは使うのだから、ベクトルは座標平面で定義されればよいのでは」と解釈してしまうのですが、違っていたらごめんなさい、そして、この後は読まない方がいいとおもいます。時間の無駄です。

ベクトルの定義を思い出してください。
「ベクトルとは、向きと大きさからなるもの」
です。場所によって決まるものではありません。

ベクトルを座標平面で定義してしまったら、ベクトルの良いところが失われてしまいます。

なので、ベクトルは今のままでいいとおもいますよ。

お礼

こんにちは。お返事どうもありがとうございます！

＞軸を書かないとすると、点の座標は決まらないですよね。それで議論できるのであればいいのですが、そんな問題なら、複素数平面を導入しなくともいいのでは？と感じてしまいます。

NO,1のお礼のほうにも同じことを書きましたが例えばある３角形があって、「そのうちのある一点が原点になるように複素数平面を導入すると宣言して、その点Aを表す複素数をα,Bを表す複素数をβ、点Cを表す複素数をγとおく。」と書けば別に軸を書かなくても点を複素数で表せたことになって回転の操作もできることにはならないのでしょうか？

>>逆に純粋にベクトルを導入するということはどういうことなのでしょうか。
(平面)ベクトルが成分で表示されるとき、座標平面に書いてあげると、見やすい場合があるから書くのです。

すいません、ちょっとわからないのですがそれは純粋にベクトルを導入している例なのでしょうか。ベクトルの成分と座標平面が対応していることはわかりますがこれはもとからベクトルが与えられている場合ですよね。

＞ベクトルを座標平面で定義してしまったら、ベクトルの良いところが失われてしまいます。

ベクトルは座標平面で定義されればよいと考えたことはなかったのですが、座標平面でベクトルを定義することによって失われてしまうベクトルの利点がどこにあるのか知りたいです。例えば点Aに行くのに点Bを経由して行く場合、座標平面で考えた場合でも⇒OA=⇒OB⇒BAのように普通にベクトルでつなげることができますよね。すいません、よろしくお願いします。

回答No.1

acacia7

図形を複素数平面上にのせるってことなんでしょうか？・・
とりあえず、二つの面の相対位置の設定をするとなると、
少なくとも、3点の設定は必要だと思います。
3点ないと平面が張れませんので・・

純粋なベクトルの例として、
長方形ABCDを考えてみてください。
⇒ABを⇒a、⇒ADを⇒d、⇒ACを⇒cとすると、⇒a＋⇒d＝⇒cとなります。
これはどんな形の長方形ABCDでも成立してます。
大きさなどに縛られない場合に利用しやすいという感じじゃないでしょうか。

お礼

お返事ありがとうございます。

＞図形を複素数平面上にのせるってことなんでしょうか？・・

はい、その通りです。

＞とりあえず、二つの面の相対位置の設定をするとなると、
少なくとも、3点の設定は必要だと思います。
3点ないと平面が張れませんので・・

例えばある３角形があって、「そのうちのある一点が原点になるように複素数平面を導入すると宣言して、その点Aを表す複素数をα,Bを表す複素数をβ、点Cを表す複素数をγとおく。」と書けば別に軸は書かなくても点の横にそれぞれα,β,γとかいておけば複素数平面上で考えていることが伝わりますかね。

＞純粋なベクトルの例として、
長方形ABCDを考えてみてください。
⇒ABを⇒a、⇒ADを⇒d、⇒ACを⇒cとすると、⇒a＋⇒d＝⇒cとなります。
これはどんな形の長方形ABCDでも成立してます。
大きさなどに縛られない場合に利用しやすいという感じじゃないでしょうか。

具体例を出していただいてありがとうございます。でもその場合でも点Aが原点、AB,ADがそれぞれx軸y軸と重なるように座標を設定すると書いて、それぞれの点に座標を与えても同じようにベクトルで⇒ＡＢ＋⇒AD＝⇒ACとかけますよね。それに座標で設定しても点から点を引けばベクトルができあがるとおもうのですが・・・。