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因数分解で・・・

a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3という因数分解があるのですが、解答によると 与式=(b-c)^3a+b(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3)+c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)-(1) (1)の式を「aについて整理」と書いてありました。その後に =-(b-c)a^3+{(b-c)^3+3bc(b-c)}a-bc(b^2-c^2)-(2) このような式がきました。(1)から(2)のようにするには(1)をすべて展開し、同類項をまとめてからくくりなおすしか方法はないのでしょうか?解答お願いします!!

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みんなの回答

  • 回答No.3
noname#231526
noname#231526

 この問題は結局コツコツとやるしかない問題で疲れますね。 (1)のようにしちゃったら、(2)へは、まあ展開して同類項をまとめて括りなおすということをしますが、#2さんのお書きになったように、展開といっても、(1)の後は、b がくっつくのと c がくっつくのだけですから、眺めながら、ある程度整理しながら書いていくことになります。  なお、比較的エレガントな解法としては、(1)のように展開するのではなく、(x-y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y)を使って展開し、 与式初項 = ab^3 - ac^3 - 3abc(b-c) 与式第2項 = bc^3 - ba^3 - 3abc(c-a) 与式第3項 = ca^3 - cb^3 - 3abc(a-b) と展開すると、上の各行の最後の項が打ち消し合って0になるので (-3abc(b-c+c-a+a-b)=0) 与式 = ab^3 -ac^3 + bc^3 -ba^3 + ca^3 -cb^3 これを一つの文字(例えばa)について整理すると簡単です。

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  • 回答No.2
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

展開するのが手っ取り早いのでしょう。ただ、要領。 展開の式をいちいち書くまでもなく、 (b-c)^3a はおいといて、残りを a^3 の係数は?→ a^2 の係数は?→ a の係数は?→定数項は? と順にみながら斜線で消しながら、まとめた式を同時 に書いていくとか。 b(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3)をA、 c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)をBとすれば、 a^3の係数・・Aから-b,Bからc a^2の係数・・Aから3bc,Bから-3bc a の係数・・Aから-3bc^2,Bから3b^2c        それから、はじめの(b-c)^3 定数項・・・Aからbc^3,Bから-b^3c というのを目で追いながら、消しながら、同時に ↓を書きながら、 (-b+c)a^3+(3bc-3bc)a^2+(-3bc^2+3b^2c+(b-c)^3)a+bc^3-b^3c というふうに(余裕があれば共通因数でくくるのも同時に)。

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  • 回答No.1
  • aonegi
  • ベストアンサー率0% (0/0)

(1)式の後に『aについて整理』とあるので、(1)式のb(c-a)^3とc(a-b)^3の2つを展開しましょう。ということで展開してみましょう。 a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3…(1) 3乗の公式より 上式=a(b-c)^3+b(c^3-3c^{2}a+3ca^2+-a^3)+c(a^3-3a^{2}b+3ab^2-b^3) ここでaに関して整理すると… =(c-a)a^3+(3bc-3bc)a^2+{(b-c)^3-3bc^2+3b^{2}c}+bc^3-b^{3}c =(c-a)a^3+( 0 )a^2+{ (b-c)^3+3bc(b-c) }-bc(b^2-c^2) よって =-(b-c)a^3+{(b-c)^3+3bc(b-c)}a-bc(b^2-c^2)-(2)

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