微分積分初歩的な質問

質問

１．置換積分において例えば sinx=t とおいた場合、
両辺をまずｔで微分して d/dt・sinx=d/dt・t　
左辺のd/dtをd/dx・dx/dtとして　cosx・dx/dt=1
dtを両辺に”かけて”cosx・dx=dt　とできますよね？

２．でももっと簡単な方法（？）を思いつきました。
左辺をｘで微分してdxをつける、右辺をｔで微分してdtをつける、
としたら解答が一致して、今のところ他の問題でもうまく行っています。

疑問１．以前質問したときd/dxは演算子と教えられました。しかし、
cosx・dx/dt=1 の両辺に dt を”かける”と間違った答えには
なりません。演算子は”かける”とかいうものをしちゃいけない
ように言われたのですが、結果としてうまくいってしまっている上記の
式に関してはたまたまなのでしょうか？それとも何か私が
勘違いしているのでしょうか？

疑問２．上記２．における文章で説明した”簡単な方法”は
たまたまうまく行っているだけでしょうか？それとも、広く行われている
方法でしょうか？

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

d/dx はあくまでも「演算子」なんです．

一方，`` d '' とかかれる演算子もあるんです．
関数 f(x) に対して，
df = f'(x) dx という風に定義されるんですが，
じゃあ，``dx'' ってなんだ？ということになりますが
これは，f(x)=x に対する df のことなんですが，
まあ，胡散臭いですね(^^;
＃ちょっと上のほうにある「解析概論の間違い」という
＃質問もみてください．この演算子``d''に関する話です．
この「d」ことを「外微分」といいます．
そして，df (=f'(x) dx)のことを``fの微分''といいます．
f'(x)は「fの「微分」の係数」だから「微分係数」なんて
いうんです．

で，df = f'(x) dx という形なので，
df/dx という「割り算」を f'(x) だと定義してしまうんです．
df = (df/dx) dx で約分です
そうすると，演算子 d/dx という表記と整合がとれて
分かりやすいのです．
合成関数の微分なんかも整合がとれてて
F(x)=f(y), y=g(x)とおくと
F'(x) = f'(g(x))g'(x) ですので
dF = F'(x) dx
= f'(y) y' dx
= (df/dy) (dy/dx) dx
ここで，dx で「約分」してしまうと
(df/dy) dy
になりますが，これは F を y の関数だと思ったときの微分
dF = f'(y) dy そのものだということになります
このように，「約分」が合成関数の微分で正当化されるのです．

ということで，d/dx と d は関係はしてるんですが
数学的には別のものなんです．
だから d/dx を演算子としてみるときには
D なんていう記号で書くことが多いです．
df = D(f) dx となるわけです

話が長いですが，
ここまできてやっと置換積分(^^;;

∫f(t)dt = ∫f(g(y)) g'(y) dy

というのが置換積分の公式ですが
t=g(y)とおいたとき，上の外微分を考えると
dt = g'(y) dy ですので，明らかですよね
外微分で割り算も約分も正当化されているので
質問者さんの``2.''の計算は正当化されるのです．

===========
散々長いだけで分かりにくいな，これ(^^;;
いろいろ裏側にあるものを隠して，
表面だけ出してるせいですが（それゆえに綻びもある），
まあ，興味があれば
微分幾何とか多様体論の初歩的な本を
気合をいれて読んでください．
「微分形式」ってのがあって，
これですべてすっきり正当化されます．
実は正当化なんてのは副産物程度で
実際はすさまじい世界の入り口です．

お礼

一部難しくて理解できませんでしたが、
＞このように，「約分」が合成関数の微分で正当化されるのです．
これは、かけたり割ったりしてうまく行く場合はその裏には
必ず合成関数の微分が潜んでいるということだと思いました。
置換積分に関しては同じものを違うと思い込んでいたみたいです。
なんだかやってもやっても進んでいるような気がしません。
置換積分を理解しようと練習問題やりましたが全部正解でした。
でも、理解は５０％しかしていないです。いちいちf(x)=tとおいて
せこせこやっていますが、置換積分を理解すればその過程が脳内で
済んでしまうような気もするし・・・
今もひたすら微分積分やっています。また何かありましたら
時間のあるときにでもご協力ください。ありがとうございました。

回答No.2

Willyt

１も２も全く問題ありません。微分演算子をかけてはいけないというのは全く理解できませんよ。微分演算子は定義に立ち返って考えれば、他の変数や定数と全く変わるところがなく、ただその値が無限に小さいだけなのですからね。
　御自分で１と２に気付かれたということは微分をよく理解していたという証拠ですから誇っていいことですよ(^_^)

お礼

＞ただその値が無限に小さいだけ
これも言われてみればそうなんですよね。
でも、なぜかこの d/dx とか dt を自然に扱えません。
毎日微積の問題解いて考えているはずなんですが。

＞左辺をｘで微分してdxをつける、右辺をｔで微分してdtをつける、
これはOKなんですね。よかったです。こっちの方が簡単で
時間も節約できるし、ミスも減らせそうなので。
回答ありがとうございました。

回答No.1

incd

置換積分を解くに当たって、その方法とることは、通常広く行われていることであり、上手くいくので安心して使ってよいと思います。。

一方で、dx/dtが演算子であるというのも正しくて、dtの部分だけを掛け算する、というのは本来ならば出来ないことです。しかし、見かけ上掛け算をやっているかのような計算が正しい、ということを証明することが可能です。確か合成関数の微分法を使うのだったと思います。

例えば、
∫1/√(1-t^2) dt

であれば、t=sinx と置換することを考える。dt/dx=cosx.

∫1/√(1-t^2) dt　をxで微分してから積分する（変わらない）。

＝∫{1/√(1-t^2) dx/dt}dx
＝∫{1/cosx・cosx}dx

みたいな感じだったかな。他の導出もあるかもしれませんが、とりあえず参考までに

お礼

＝∫{1/√(1-t^2) dx/dt}dx　これはたぶん
＝∫{1/√(1-t^2) dt/dx}dx　の間違いですよね？
だいたいおっしゃりたいことはわかります。
ただ式自体は理解できるのですが、自分の質問に対する理解として
眺めたときに何故か脳みそが停止します。まぁこれは私側の問題
なのですが。あまりにシンプルな説明は、逆に脳みそが拒絶反応を
示すみたいです。回答ありがとうございました。