二次方程式の判別式について

質問

以前、数学の授業で判別式D=b^2-4acを使って、二次方程式の実数解の有無を調べることを習いました。
質問なのですが、なぜ判別式D=b^2-4acを使うとその二次方程式の実数解の有無が分かるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.7

physicsache

y=ax^2+bx+c =a(x+b/2a)^2 -(b^2-4ac)/4a　・・・(1)

y=a(x-p)^2+q　の頂点が(p,q)であることと同様に、
(1)式の頂点は(-b/2a,-(b^2-4ac)/4a)です。

(i)頂点のy座標がx軸より下にあれば実数解は二つ。
-(b^2-4ac)/4a<0　→　b^2-4ac>0

(ii)頂点がx軸より上なら実数解無し。
-(b^2-4ac)/4a>0　→　b^2-4ac<0

(iii)x軸上にあれば解は一つ。
-(b^2-4ac)/4a=0　→　b^2-4ac=0

まあこんなわけで、これは解の有無を調べるのに便利だということで、
覚えろ覚えろとしつこく言われるわけなんです。

回答No.6

dq_playing_hard

グラフで考えると

２次式のax^2+bx+cを変形すると

a[x+{b/(2a)}]^2-b^2/(4a)+c

実数解があるということはｘ軸と交わるということで、
（ax^2+bx+c＝０となるxが存在するということ）

-b^2/(4a)+c＜０になるということ（ただしa>0の場合）

よって有無がわかります。たぶん。

回答No.5

takiguchikun

質問の趣旨は「なぜ」
ってとこなんだよね。
自信ないけどいちお回答。

感覚的にいうと
判別しきってのは
ｙ＝a(x-□)+○
の
○の部分（ｘ軸からのキョリ）に
マイナスつけたようなもんだから。
ってことになってくると思います。

自信ないので
解の公式　と　元の式をよ～く見比べて
確かめてみてね。

回答No.4

shogo1122

判別式は二次方程式の解の公式の√内にあたる部分です。
二次方程式 ax^2+bx+c=0(a≠0)…(1) を考えてみましょう。

この方程式の解はグラフで考えると
y=ax^2+bx+c と y=0（x軸）との交点を示しています。
(1)が異なる二つの実数解をもつとき、グラフとx軸との交点が二つあることになります。
二つ解を持つのは√内が正になるときです。
よって判別式D>0のとき、実数解が二つあることがわかります。

同様に、D=0のとき、x軸との交点は一つになります（接するともいいます）。
（詳しくは解は二つあり、重なっているので重解とよばれます。）

以上からDが0以上（D>0またはD=0）のとき、(1)は実数解を持ちます。
実数解を持つというのは、x軸との交点を持つということです。

また、D<0のときには方程式は解けない、すなわち解なしと教わったと思います。
（虚数というものを使えば全ての二次方程式を解けますが、ここでは触れないことにします。）
√の中は正でなければならないので解けないのです。
このときグラフを考えるとx軸とは交点を持たず、
言い方は変ですが、宙に浮いている（離れている）ことになります。
なので実数解を持たないということになります。

余計なことですが、bが偶数のとき、2で割ったものをb'とすると、以下の公式が使えます。
D/4=(b')^2-ac
x=｛-(b')±√(D/4)｝/a
計算が簡単になるので便利です。

回答No.3

hiiniichan

二次方程式（ax^2+bx+c=0）の解の公式は

　　-b±√(b^2-4ac)
x= ─────────
　　　　　2a

D=b^2-4acの値が負のときには虚数解が二つ求まり、実数解がありません。

解の公式の求めかたについては"解の公式"で検索していただければ…

回答No.2

ccyuki

２次方程式の解の公式を覚えていますか？
　ｘ＝｛－ｂ±√（b^2－４ac)｝/2a　　です。
この√の中が　－だと解がありませんよね。だから解なしです。
　　（もう複素数を勉強したのならiが出てきて虚数解）
　　　　次に０ならば±0となって実数解は１つです（重解）
　　最後に＋ならば実数解は２つあります。

そこでこの　b^2－４ac　を判別式といいます。

回答No.1

noname#21330

まずは解の公式のルートの中身が、
b^2-4ac
で、ルートの中身が負だと実数がないというのがあります。

また、
y=ax^2+bx+c
を考えると。
y=a(x^2+(b/a)+c/a)
=a((x+b/2a)^2+c/a-b^2/4a^2)

a>0の場合、この関数は下に凸
解を2つ持つ条件はyの最小値
c/a-b^2/4a^2<0
両辺に4a^2をかけると
4ac-b^2<0
からも求まります。（a<0の場合も同様に導けるはずです。）