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ゲーデルの不完全性定理とは？
stomachmanの回答
- stomachman
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mori0309さんてば、安直しちゃいけません。（stomachmanも初めて学んだときは高校生だったもんだから、もろに安直してしまいましたけどね。） 無矛盾性と健全性と完全性はよく似ているけど別の概念ですから、慎重に区別しましょう。不完全性定理のストレートな解釈は「自動的に定理を枚挙するようなアルゴリズムはない」という意味です。 系：数学者は失業しない ここで「定理」とは「公理」＋「推論規則」から演繹される「真である命題」のことです。全ての「定理」の集合が「理論」。つまり、形式的体系における「理論」というのは、それ（「公理」＋「推論規則」）を言ってしまったら、必然的にこういう話（「定理」）になるじゃないか。という、「公理」＋「推論規則」の中に既に暗に含まれていた結論の総体です。もちろん「公理」＋「推論規則」を変えれば「理論」も変わりますから、ピタゴラスの定理がどんな「理論」にも含まれている、という訳じゃありません。 > ●認識主体が自分自身を完全に認識することはできない。（認識） > ●哲学が哲学を完全に定義することはできない。（定義） 少なくとも「公理」＋「推論規則」が記述できるなら、「理論」は陰に（陽にではなく）定義されるわけです。そういう意味で完全に定義され、認識されている。ただ具体的にもれなく枚挙するシステムは作れない。（微分方程式は立てたけど、解けない、というのと似てますね。）これを「DNAが分かればヒトが分かるか」のように拡大解釈しちゃいけません。形式的体系の「理論」は、「公理」＋「推論規則」以外の影響は全く受けない。一切の夾雑物は許されないのです。しかしヒトはDNAのみで生きるにあらず。死体や鼻くそにだって同じDNAがあります。 系：医者は失業しない。 一方、「認識主体」や「哲学」が「形式的体系」か、というと全然そうじゃない。理論物理学のいう万物の理論(theory of everything)は、いわば宇宙の「公理」＋「推論規則」を見いだそうという研究です。演繹とはまるで逆のことをやっている。「公理」＋「推論規則」をいろいろ仮定してみて、そこから演繹される「定理」を現実と比較する、という作業をやっていくしかない。これは帰納法ですね。究極理論！と思っていても、いつか反例が見つからないとも限らない。 系：物理学者は失業しない。 また、数学の正当性を論じる「超数学」自体も、形式的体系ではありません。ましてや「形式的体系」以外の方法を検討しようとする時に、その活動が形式的体系の枠の中にあるのかというと.... つまり、不完全性定理があるかどうかとは無関係に、「哲学を形式的体系として表現できるか」という問題が先に来るんです。 系：哲学者は失業しない。 「認識」に関しては、証明ではなく「ん！そうに違いない！！」という納得が求められている訳で、これは不完全性定理の文脈には乗りそうもありません。 > ●体制が自己の正当性を自分で証明することはできない。（証明） 幾ら何でも、これは「正当性」の意味がずれちゃってませんか？ 系：政治家は失業しない。 mori0309さんてば、まあまあ、そう焦らないで。 レイモンド・スマリヤン「決定不能の論理パズル」白揚社 ダグラス・ホフスタッター「ゲーデル・エッシャー・バッハ」白揚社 ナーゲル、ニューマン「数学から超数学へ」白揚社 など、すてきな本がいっぱいありますから、10年掛けてじっくり楽しんで下さいよ。 系：本屋は失業しない。
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