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ベクトル

四角形ABCDにおいて、対角線AC,BDが点Pで交わっている。 ↑a=↑AB,↑b=↑BCとおく。↑BD=↑-a+2/3↑bを満たす。 (1)↑CDおよび↑DAを↑aと↑bで表せ。 (2)↑APを↑aと↑bで表せ。 (3)四角形ABCDの面積をSとするとき、三角形APDの面積をSで表せ。 (2)のやりかたは↑APをふたつの式で表してとくのでしょうか?? (1)以降が全くわかりません。どなたかヒントを教えてくれませんか?? よろしくお願いしますm(_ _)m

noname#54148
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(1)が分からないのならベクトルの基本をよく勉強しましょう。 例えば↑a=↑AB,↑b=↑BC ならば ↑AC=↑AB+↑BC=↑a+↑b あるいは ↑AC=↑BC-↑BA=↑b-(-↑a)=↑a+↑b と計算しますね。今、 ↑AB,↑BC,↑BDが↑a,↑bで表されているのですから ↑CD や ↑DA を↑a,↑bで表わすのは基本です。 そして↑DA=-2/3↑bと出せばAD//BCと分かりますので 四角形ABCDはAD//BC,AD=2/3BCの台形と分かります。 とすれば、△ADP∽△CBPですのでAP=kACとしてkを求めるのは 中学の数学の範囲です。kが求まれば上に書いたように ↑AC=↑a+↑b ですから ↑AP=k↑AC=k(↑a+↑b) そこが分かれば(3)も求めることができます。

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質問者からのお礼

丁寧に解説していただいてありがとうございました。

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ベクトルaを[a]と書くことにします [CD]=[BD]-[b]=-[a]+(2/3)[b]-[b]=-[a]-(1/3)[b] [DA]=-[BD]-[a]=-(2/3)[b] BP:PD=m:(1-m) とする。また [AP]=k[AC]=k[a]+k[b] とする。 [AP]=(2m/3)[b]+(1-m)[a]=k[a]+k[b] より k=(1-m)=(2m/3) よって m=3/5 ,k=2/5 [AP]=(2/5)[a]+(2/5)[b] BP:PD=3:2 AP:PC=2:3 より △APD=(2/5)(2/5)S=(4/25)S

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質問者からのお礼

とても解りやすかったです。 ありがとうございました。

  • 回答No.2

> (1)以降が全くわかりません。 それは何もわからないと言うのでは… (1)は ↑CD = ↑BD - ↑BC のように既知のベクトルに置き換えれば求められます。 > (2)のやりかたは↑APをふたつの式で表してとくのでしょうか?? その通りです。 APとPCの比をs:1-s, BPとPDの比をt:1-tとでおいて式を立てれば求められます

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。

  • 回答No.1

(1)はBを始・終点とするベクトルを考えればOKでしょう。 (2)はご質問にあるとおりで、Pが線分ACとBD上にあることから↑APが↑ACと↑BDの定数倍を使って書けることが分かるので(図を書いて考えましょう)、簡単な連立方程式で解けます。 (3)は↑APが分かれば色々な方法で解けます。(以上)

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