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y=aｘ＾2 の変域を出す解法についての質問
私は塾講師をしていますが、「y=ax~2 でｘがAからBまで変化するときの変化の割合を求めよ」という中3でよくありがちな問題ですが、生徒が「AとBを足して、与えられた式の2乗をとって、y=axにして、そのXに足したものを入れれば答えが出る」と言いました。私はそんな解法は初耳でしたが、確かに正解が出るようです。ここで質問ですが、この解法は一般的に知られて使われているものですか？そしてある意味邪道ともいえる解き方をする生徒について、このままほうっておいていいと思いますか？私にはなんでこんなやり方で答えが出るのか解らないんですが、知っておられる方ご指導ください。
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変域ではなくて変化率ですよね。 y=f(x) の x=A から x=B までの変化率は （f(B）－f(A))／B－A ですから y=ax^2 の場合の分子は aB^2－aA^2＝a(B^2－A^2)＝a(B－A)(B＋A) ですから B－A で割れば a(B＋A) となり 生徒さんの指摘通り AとBをたして y＝ax に代入した値と一致します。
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そうなる理由は他の方が説明しているのでいいとして。 別にほうっておいても（その解き方をさせておいても）いいんじゃないでしょうか？ 別に邪道とは思いませんし。 たしかに基本的な解き方ではありませんが、「いかに簡単に問題を解くか」というのは、数学の醍醐味の一つです。 たしかに、参考書等からそのまま引っ張ってきたのなら少し問題があるかもしれませんが、そもそも「なぜそうなるのか」を理解してなくても、実質上問題はないように思います。ただし、「yの変化量/xの変化量」という基本さえ覚えておけば、という条件付ですが。 あくまで「簡単に解く方法」として、別に導出過程を知らないで使っててもいいんじゃないでしょうか。
- Centermoon
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変化の割合の定義も a^2-b^2=(a+b)(a-b) の因数分解の定義も中学の学習範囲なので問題はないと思います。ただし一番大事なのは結果の式ではなく変化の割合の定義の式だと思います。表にして途中経過もしっかり示せば普通の生徒さんも納得すると思います。
- ryn
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2次関数 y=ax^2 の傾きは dy/dx = 2ax というように1次関数となります． したがって，2点A,Bの間の平均的な傾きは A,Bの中点 (A+B)/2 での接戦の傾きと一致します． というわけで，意味を考えると 「y=ax の x に A+B を代入する」 のではなく 「y=2ax の x に (A+B)/2 を代入する」 が正しい理解だと思います． > この解法は一般的に知られて使われているものですか？ > そしてある意味邪道ともいえる解き方をする生徒について、 > このままほうっておいていいと思いますか？ 高校受験等に全く関わっていないのでわからないですが， 微分だの接線の傾きだのわからない中学生ですから (yの増加量)/(xの増加量) をちゃんと理解させるほうが良いのではないでしょうか？
お礼
私も (yの増加量)/(xの増加量) をちゃんと理解させるほうが良いと思いますし、 もちろんそういう風に教えるのですが、 たまたま見回っていたら、ある生徒がこの問題を暗算で解いたので、 聞いてみるとこういうことだったのです。 ようするに、すでにこちらの指示を無視しているわけです。 別のお礼にも書いたけど、この生徒は、ことの本質を理解しないようになると思いますが、確かに正解が出せる方法を「これはだめだ」と言うのに説得力が無いような気もします。 迷います。 ご回答ありがとうございました。
- dragon-x
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普通に解いてみましたが、 変化の割合＝(aB^2-aA^2)/(B-A) ここで aB^2-aA^2=a(B^2-A^2)=a(B-A)(B+A) したがって、 変化の割合＝a(A+B) となりますよね。 さて、ご質問についてですが、この式への導き方を分っていれば問題ないと思います。 今の中学生は微分はやるんでしょうか？ もしそうであれば、ｘで微分して、ＡとＢとの線形的なな平均を求めても、この場合間違いではありません。 大事なのは、偶然ではなく、根本的な考え方を知った上でやってるかどうかが大事だと思います。
お礼
中学生は微分はしません。 私も大事なのは、偶然ではなく、根本的な考え方を知った上でやってるかどうかが大事だと思います。 ただ、これを肯定してしまうと、こればかりで求めると思います。実際このほうがはるかに早く解けます。 で、根本的な考え方を理解しても内容に思うし、理解しようと模試なくなると確信します、この生徒の場合。 「これで出るんだから、ええやん」みたいな.... ご回答ありがとうございました。
- life55
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まあ，その通りですね． よく知られた方法かどうかは別として，褒めといてやればいいのでは？ この生徒が，「変化の割合」という言葉を理解していて，この方法を使っているのならいいのですけど，どっかの大人の入知恵だと，この子には不幸なことですね． 「いい方法だね」ということで，どうやってこの方法を導出したかみんなの前で説明してもらったら，他の生徒にも勉強になるのでは？ けど，授業のときにいきなり言われると，ムカつきますね！ ガウス君が１からｎまでの和を簡単に求めたら，先生が大暴れをした（そこまではしてないか？）というお話を，英語の教科書で読んだことを思い出しました． やられた！って感じですね．
Ａ１の方のおっしゃる通りですが、 ｙ＝ａｘ＾３ など 別の関数ではうまくいかないようですね。 ２乗の差＝和と差の積 がたまたま使えたのがラッキーだったのでしょう。 でもそれを見つけた生徒さんはえらいと思います。
お礼
相手は中3なので、３次関数は考えなくてよいです。 生徒は、友達と見つけたといっていますが、正直怪しいです。
- debut
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y=ax^2で、xがｍからｎまで増加するときの変化の割合を求めてみると、ｘの増加量はｎ－ｍ、ｙの増加量はａｎ^2－ａｍ^2だから、 変化の割合＝(an^2-am^2)/(n-m)=a(n+m)(n-m)/(n-m)=a(n+m) となり、ｍ≠ｎならばおっしゃることが成り立ちます。 まあ、答えの確認ぐらいで使ったり、「y=2x^2で、ｘがaからa+4まで増加するときの変化の割合が12である。aを求めよ。」などの文字が入ったときなどは計算を簡略化できて、間違いを防ぐにはよさそうですが・・・
お礼
皆さんの説明を見させてもらって、この解法は、きちんと証明でき、y＝ax＾2に関しては常に使える解法であることに納得しました。 確かに邪道では無いですね。 私も含めて皆さんが、「yの変化量/xの変化量」という基本さえ覚えておけば、と言うことが気になりますね。 私もその生徒が、いつも90点を超えるような生徒であれば何も言わないのですが。だいたい40～60点と、ぱっとしない理解度の生徒なので、迷います。 「基本を押さえて楽な解法も」、と言うタイプではなく、とにかく楽すればいい、点が50点ぐらいでも、テスト勉強で苦労するよりはいい、と言うようなタイプなので....困ったものです。