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順列の問題 YOYOGIの6文字を一列に並べる並べ方。
（問題）YOYOGIの6文字を一列に並べる。2つのYの少なくとも一方よりGが左側にある並べ方は何通りあるか。（質問）下記の回答はどこがおかしいのでしょうか。”6文字のどこかにGYがあればよいから、6C2。残りの4箇所にOYOIが並ぶ並び方は4!/2!。従って、6C2×4!/2! = 180通り。（ちなみに、正解は120通りです。まず、6文字にOOI□□□を並べる。つぎに、3つの□に左からGYYまたはYGYを並べる。6!/(2!×3!)×2 = 120通り）よろしくお願い致します。
- wakakusa01
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質問者が選んだベストアンサー
間違いはNo1さんの回答の通りです。 で、折角ですからこの考え方を利用しましょう。 まず質問者さまの出した180個の場合があります。 この中からGと2つのYだけを取り出して考えます。すると、GがYより左にあることから、考えられる組み合わせは次の2種類です。 GYY YGY が、この2種類の場合は同じ数づつあるわけではありません。というのも「GYY」の組み合わせはどちらを最初の6C2判定に使ったかでダブルカウントしているので。 判定に使ったものをY、もう一方をyとして書き換えると、 GYy GyY yGY この3種類の場合が同じ数づつ存在していることが分かります。 ですから、 180×(2/3)=120 別解として、「YのいずれもGの左側にある」場合を全体から引く方法が考えられます。
その他の回答 (3)
先ほど、正解の説明が理解できないと書きましたが、それは間違っているぞという意味ではなく、本当に分からなかったのです。 今分かりました。 □が3つあるのですね。Ｏが2つ、Ｉは、1つ。これら6つを並べる重複順列の計算が、6!/(3!2!1!)ということなんですね。簡単ですねえ。 そして、□の中身は、2とおりあるので、2倍するのですね。 すっきりしました。
＞6文字のどこかにGYがあればよいから たとえば、 Ｇ・・・ＹＹ Ｙ・・Ｇ・Ｙ などはどうでしょうか。これも問題の条件を満たしている場合だと考えられるというのはいいですね。 これらは、6文字のどこかにGYがある場合と考えられているのでしょうか。 つまり、連続してひとまとまりになった[ＧＹ}ではなく、間にその他の文字が入ってもよいような考え方なのでしょうか。 それだと、私には複雑に思えて、確かかどうか分かりませんが、次のような場合分けが必要となってくるのではないでしょうか。 Ｇ・・・Ｙ・ Ｇ・・Ｙ・・ Ｇ・Ｙ・・・ ＧＹ・・・・ ＹＧ・・・Ｙ ・Ｇ・・Ｙ・ ・Ｇ・Ｙ・・ ・ＧＹ・・・ ・・Ｇ・・Ｙ ・・Ｇ・Ｙ・ ・・ＧＹ・・ ・・・Ｇ・Ｙ ・・・ＧＹ・ ・・・・ＧＹ 簡単に、すべての場合の数から、Ｇの左側に２つのＹがある場合の数を引く考えはどうでしょうか。 I）すべての場合の数は、 6!/(2!2!)=180 II）Ｇの左側に２つのＹがある場合の数は、 1)・・・・・Ｇのとき、 5!/(2!2!)=30 2)・・・・Ｇ・のとき、 ・・・・ＧＯでは、 4!/(2!)=12 ・・・・ＧＩでは、 4!/(2!2!)=6 3)・・・Ｇ・・のとき、 ・・・ＧＯＯでは、 3!/(2!)=3 ・・・ＧＯＩでも、 3!/(2!)=3 ・・・ＧＩＯでも、 3!/(2!)=3 4)・・Ｇ・・・のとき、 ＹＹＧ・・・だけが考えられ、 3!/(2!)=3 1),2),3),4)より、 30+(12+6)+(3*3)+3=60 Ｉ),II)より、 180-60=120 ちなみに、正解の説明は、私には理解できません。
- himajin100000
- ベストアンサー率54% (1660/3060)
パターン1 ●ABCDEFの中から2つ選び、選ばれた二つにGとYがこの順で入るとする 選ばれたのはAとEだった GBCDYF ここでOOYIを並び替えた。その一通りとして OOIYの順を採用したとすると GOOIYY パターン2 ●ABCDEFの中から2つ選び、選ばれた二つにGとYがこの順で入るとする 選ばれたのはAとFだった GBCDEY ここでOOYIを並び替えた。その一通りとして OOIYの順を採用したとすると GOOIYY この二つのパターンをダブルカウントしているのではないかと思う
お礼
himajin100000さん そうでした。よくわかりました。有り難うございます。お礼が遅くなり申し訳ありませんでした。SortaNerdさんもご指摘のとおり、GYyとGyYをダブルカウントしていました。
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