座標の平行移動ではベクトルの成分が変化しないと言う意味。

質問

ある参考書をみて座標の平行移動では、

ベクトルの成分が変化しない

と書いてありました。しかし、位置ベクトルの成分は変化していて、その理由に

”始点を固定している束縛ベクトルは、その成分が変わる。”

と書いてありました。意味が全然分かりません。始点の固定されていないベクトルは、成分が変化しないというのはどういう意味でしょうか？

回答No.2

starflora · ベストアンサー

分かり易いように、二次元で考えましょう。三次元の場合は、成分変数が一つ増えて、三個になるというのが違いです。

　　二次元ヴェクトルは、二つのスカラー量（つまり、普通の数）で定義され、（ｘ，ｙ）みたいに書きます。こういう風に書いているヴェクトルは、「普通のヴェクトル」で、この成分ｘとｙは、座標が平行移動しても変化しません。何故なら、こういう普通のヴェクトルは、特定の点に固定されておらず、どこか点を決めると、例えば、（２，４）というような座標上の点を決めて、ここを「始点」だとすると、（２＋ｘ，４＋ｙ）という点に向けて延びた形のヴェクトルになるからです。

　　これは、（ｘ，ｙ）という非束縛ヴェクトルを、仮に（２，４）という点を始点として見た場合で、このヴェクトルは、好きな始点（ａ，ｂ）を選ぶと、（ｘ＋ａ，ｙ＋ｂ）という点が自動的に「終点」になるのです。（ｘ，ｙ）というヴェクトルは、始点か終点か何かを決めると、或る特定の位置に来るのですが、それを決めていない場合は、空間平面の自由な場所にあるとも云えるのです。

　　平行移動というのは、Ｘ軸やＹ軸を「回転させず」、ただ、原点だけをＸ，Ｙ軸に平行に移動させることです。以前に（３，５）だったところに原点（０，０）’が移動すると、平面上の図形などは、Ｘ軸は、－３、Ｙ軸は－５移動したことになります。図形自体は動いていないのですが、枠である、座標軸が平行に移動したので、こういう風に図形のある座標値が変化するのです。

　　平行移動の場合、非束縛ヴェクトルつまり普通のヴェクトルは、（ｘ，ｙ）も、（ｘ－ａ，ｙ－ｂ）も同じことだったので（始点が一緒に移動すれば同じヴェクトルです。この場合、原点（０，０）を始点として、（ｘ，ｙ）を考えていたところ、原点が（ａ，ｂ）に移動しても、（ｘ－ａ，ｙ－ｂ）から（ａ，ｂ）へと向かうヴェクトルになるので、実質ヴェクトルの成分は、（ｘ，ｙ）で同じなのです……図を描いて考えて見てください。言葉では、なかなか分かりにくいです。ａ，ｂ，ｘ，ｙなどに具体的な数を入れて考えると分かり易いです）。

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　　（以下、回転の場合の話で、パスしても構いません）

　　ところが、座標軸の回転が起こると、例えば、原点を始点にした普通のヴェクトルの場合、（ｘ，ｙ）がたまたま（０，１）つまり、Ｘ軸の成分が０で、Ｙ軸成分が１の場合を例に考えると、座標軸が４５度反時計回りにまわると、以前のＸ，Ｙ軸と４５度の傾きに新しい座標ができ、元のヴェクトルは、（√２，√２）になります（これも図を描いて確認してください。言葉では分かりにくいです）。

　　つまり、普通のヴェクトルも、座標軸が回転すると、成分が変化します。

　　（ここまで、パスしてください）
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　　他方、「束縛ヴェクトル」というのは、始点とか終点が、どこか決まった所にあるのです。普通のヴェクトルは、好きな点を始点にでき、そこから、ヴェクトルを延ばしてよいのですが、束縛ヴェクトルは、この自由に選べるはずの「始点」や「終点」などが、決まっているヴェクトルです。

　　「位置ヴェクトル」は、始点が原点にあるヴェクトルのはずです。その時、或る位置（ａ，ｂ）に延ばした位置ヴェクトルは、普通のヴェクトルとして考えると、ｘ軸の値がａで、ｙ軸の値がｂですから、（ａ，ｂ）のヴェクトルということになります。けれども、このヴェクトルは、始点が原点で、終点が、決まった位置にあります。

　　そこで、座標軸の平行移動が起こると、まずそれは原点が移動するということになります。（０，０）の原点が（α，β）に移動して、この点が新しい原点（０，０）’になるのが、平行移動です。最初の位置（ａ，ｂ）は、新しい座標では、（ａ－α，ｂ－β）’の位置に来ます。すると、原点を始点と決めた位置ヴェクトルは、（０，０）’から（ａ－α，ｂ－β）’に延ばしたヴェクトルということで、Ｘ軸の成分が、ａ→（ａ－α）、Ｙ軸の成分が、ｂ→（ｂ－β）で、成分が変化してしまいます。

　　このように、始点を原点とかに決め、特定の位置へと延ばした位置ヴェクトルは、座標の平行移動で原点が移動すると、成分が変化するのです。しかし、この場合も先に述べたように、普通のヴェクトルは、始点も終点も自由に選べるので、成分は変化しないのです。（ｘ，ｙ）という普通のヴェクトルは、座標軸が平行移動しても、変化ないのです。

お礼

siegmundさんもstarfloraさんも御回答本当にありがとうございました。
完全に納得いたしました。これで勉強進みます！

回答No.1

siegmund

具体例で見るのがいちばんわかりやすいでしょう．

　　　　　ｙ　　　図１

　　　　　│
　　　　　│　　　　　Ｂ
　　　　　│
　　　　　│　　Ａ
　　　　　│
─────┼─────　ｘ
　　　　Ｏ│　　　　　　
　　　　　│
　　　　　│
　　　　　│

図１で ＡとＢの座標は A(3,2)，B(6,4) です．
ベクトルABの成分表示は (6-3,4-2) = (3,2) です．
Ａの位置ベクトルは OA で成分表示なら (3,2)
Ｂの位置ベクトルは OB で成分表示なら (6,4)

座標軸を左に１，下に１だけ平行移動したのが下の図２．
Ａ,Ｂ の座標は A(4,3)，B(7,5)
ベクトルABの成分表示は (7-4,5-3) = (3,2) です．
Ａの位置ベクトルは OA で成分表示なら (4,3)
Ｂの位置ベクトルは OB で成分表示なら (7,5)

　　　　ｙ　　　図２

　　　　│
　　　　│　　　　　　Ｂ
　　　　│
　　　　│　　　Ａ
　　　　│
　　　　│
────┼───────　ｘ
　　　　│Ｏ　　　　　
　　　　│
　　　　│
　　　　│

つまり，座標軸が平行移動しても AB の相対的位置関係は変わりません
(原点の場所には無関係です)．
一方，Ａの位置ベクトルは原点ＯからＡへのベクトルです．
座標軸を移動すればＡとＯとの位置関係は当然変わり，
それに従ってＡの位置ベクトルも変化します．