積分の公式について

質問

こんにちは。私はいま某国立の学生をしているものです。いま大学で微分積分学の授業があるのですが、積分についてみなさんの考え方をお聞きしたいと思います。
教科書や参考書では、積分ツールとして、「公式」を載せてあるのですが、それらは全部暗記する必要があるのでしょうか？
たいていの公式は覚える必要があると思うのですが、一部で長すぎるものや複雑な式についてはどうしようかと、悩みます。たとえば・・
1/√(x^2+α^2)や、√(x^2+α)や、√(a^2-x^2)や1/(x^2-a^2)などの積分公式です。これらの公式は全部長くてやっかいです・・。別にこんなに公式を知らなくてもt=asinθやt=tanθに置き換える、などような積分テクニックで回避できるものもたくさんあると思うのですが。。
高校数学では短い公式ばかりだったのに、大学いくと公式がやたらと増える(しかも教科書によって量が違う！)ので気に入らないですw
みなさんはどういうふうにやってきたのかを知りたいです。この公式は別に覚えなくてもいいよ～とかそんな回答でも構いませんので・・。
多分、回答のなかで「イヤなら自分で導き出せられるようにすればいいじゃん」というような内容が予想されますが、わたしとしては「"公式"といえるかどうかの微妙な式の導き出し方」よりも、実際の計算において、知っている最低限の公式・テクを駆使して解きたいのが、理想です。（だって授業中に教授すら忘れていた公式もあったくらいですから）
わかりにくい上に長文ですみません。体験談やアドバイスお待ちしております！！★

回答No.1

R-gray · ベストアンサー

同じく私も某国立の２年です。

質問者様が挙げられたような積分公式はテスト前だけ覚えていました。
普段勉強している時は別に忘れたら参考書引っ張り出せばよいのですから。
というわけで今この場で公式を書けといわれても書けません。
ただ時間のことを考えると、テスト前は覚えておいて損はありません。というか安心。

（ただうちの教授は毎回テスト用紙の裏に諸公式は書いておいてくれました。
そんなことより応用力を見たかった模様。）

お礼

ありがとうございます。やはり試験前だけでいいんですかね。。そう考えると、大学授業は学生にどのレベルを求めているんでしょうかね。将来、計算するときに参考書を片手に公式を利用できる力を期待するのか、それとも一度習ったら一生公式を導出できて覚えていられる理想な学生を想定してるのか・・。
っていうか難解複雑な積分計算をやらせること自体疑問です。因数分解のようにセンスやひらめきがいる分野だし、現場じゃコンピュータが何百倍のはやさで解いてくれるし。（私は数学科じゃないんで）

回答No.8

aiueo95240

数学課卒業の者ですが、学生さんは、強制的にも暗記したほうがいいとは思います。

テスト後には忘れても、暗記したことは無駄にはならないと思います。

もちろん、公式の導き方を理解したうえでの暗記です。

ところで、下記URLでは、すごく複雑な積分もやってくれます。
感動的です。

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

回答No.7

stomachman

No.4へのコメントについてです。

> stomachmanさん程アホらしいとバカにする気はないです。

　どうも誤読なさったようです。今時の大学は、高校、下手すると中学レベルから教え直さなくちゃならない、という嘆きを聞いた事ありますし、それなら授業をやるしかないのかも知れません。しかし、そう嘆くということは大学人に問題意識があるということであり、暗記できたかどうかをチェックするだけの試験をやるほどクサレてはいないと思うから、教官室に行ってみてはどうかと申し上げたんです。
　ところで、stomachmanは天下の一般人であって、大学の先生じゃありません。試験のとき初めて教官の顔を見た、なんてことも多々ありましたけれども、今思えば、もっと教官を活用しとけば効率も上がったし、理解も深まっただろう。彼らも人の子なんですから、学生が質問に来るのが嫌なわけないじゃないですか。

回答No.6

noname#20691

暗記できるなら暗記するにこしたことはありません。もちろん、暗記した知識を応用できないのはマズイですが。私の場合は、数学系であったせいもあり、無理に覚えた記憶はありません。まあ、単位が空から降ってくるような大学だったせいもありますが（笑）

ところで、暗記というと最近では忌み嫌われる言葉になっているようですね。昔、英語や国語教育の専門家の方々が「単語や熟語の丸暗記ではダメだ」と言い始めた時期があったそうです。これは、「丸暗記するのは当然とした上で、応用が利かない暗記（勉強）をするのはダメである」という意味だったということを、その道の専門家から聞いたことがあります。ところが最近では、勉強するのがイヤであることを正当化するために暗記を否定する風潮があるような気がしてなりません。

覚える余裕があるのなら片っ端から覚えて悪くはないんじゃないでしょうか。

回答No.5

noname#20644

数十年前、大学の理工系の学科を卒業した者です。
公式は憶える必要はないと思います。しかし、どういう風に進めるか、そして、注意すべきポイントは何か、といったことは、理解しておく必要があります。そういう準備さえしてあれば、多少時間がかかっても、問題を解くことができます。
単に丸暗記しているだけでは、度忘れでもした場合はお手上げですし、融通も利かないでしょう。

回答No.4

stomachman

数学科卒業生ではないけど、数学科でちょこっと講演したことのあるstomachmanです。公式がしょっちゅう必要だから使っているうちに憶える、ということはありますけれども、大学で試験のために暗記したという経験は、stomachmanの場合、語学以外にはありません。ま、昔の話ですがね。

> 積分テクニックで回避できるものもたくさんあると思うのですが。

と仰る以上、大抵の計算なら時間を掛ければできる、という自信をお持ちなのだろうと想像します。以下はこれが前提の話なんですが…

　もちろん、よほど基本的な公式以外、たいていの公式は覚える必要はありません。そんなの数学のうちに入らないですし、学ぶべき数学はほかにどっさりあります。

> 高校数学では短い公式ばかりだったのに、大学いくと公式がやたらと増える

　えとですね、大学を、教育課程が事細かに決められている高校の延長だと思ってたら間違いです。「教科書」とおっしゃいますが、実は「入門的な専門書」なんです。それを理解して公式集として使いこなせ、というのならともかく、全部憶えろと要求するだなんて、ちょっと考えにくい。
　ですから、その講座の教官室を訪ねて、このご質問をぶつけてみるのが一番だろう。滅多に使わないが公式集を見れば分かるようなものまで憶えろ、とは絶対言わないと思うな。では先生、試験はテキスト持ち込みアリということですか、それとも丸暗記が必要になるような下らない問題は出さないということでしょうか？と念を押しとけばいいでしょ。

　講義ではなく授業をやり、憶えた公式を使うばかりのアホらしい講座が今の大学にはあるんでしょうかね。本当にあるんだとすると（嘆かわしい限りですが）、そんな下らない講座を取った自分の失敗ってことです。もし試験でそんな問題ばかりが出たら、答案に「公式集を見よ！」とだけ書いて落第し、この次は内容をもっとよく選ぶ、ってのはいかがでしょうか。

お礼

長文ありがとうございます。いかにも大学の先生らしい回答ですねw
積分テクで回避したいというのは理想であり、自分の中でそれに値する実力があるかどうかはわからないです。ただ、最近自分の中で数学に対する考え方が変わりまして、数字を通して世の中の問題を解決する能力を養成する学問なのかな、と思い始めるようになりました。自分的には大学生らしい考え方だと思います。大学と高校が違うというのはわかってるんですがね・・。講義は必修なのでとらないわけにはいかないのですが、stomachmanさん程アホらしいとバカにする気はないです。私自身が勘違いしてるだけなのかもしれないので・・。ただ、試験前に暗記して期間が過ぎたら遊び呆けるだけの周りの友達を見てると、自分は頑固なのかなと悩んじゃいますがww

回答No.3

cabinessence

今では、Mathematica等のソフトがあるので覚える必要はないと思います。公式集に載っている式を使えるようになることの方が重要かと思います。（大事なことはこれらの公式を使って目的とする証明や計算を行うことのほうが重要なので）
ただ、よく使われる公式は少ないので覚えて損はないと思います。

お礼

ありがとうございます。私が独断の偏見で認めた公式は覚えるようにしています。しかし、それ以外の、基本公式さえ組み合わせれば簡単に導出できるものは拒否反応を起こしてしまいますね。線引きがあいまいですが、この考え方は正解かなとみなさんの回答を見て感じております。

回答No.2

mmk2000

数学科卒業生ですが、基本数学の教授は暗記を忌み嫌う傾向があります。

なので、公式としてながったらしい∫√(x^2+a)dxなどを覚える必要は無いと思います。

No.1さんの仰るとおり、その範囲のテストがあるときは、こういう積分が複雑になるんだなぁ、程度に覚えておいて実際に一度といてみることくらいで十分ではないでしょうか？

以前、暗記という表現を使って叩かれたこともあるのですが、丸暗記ではなく理解型暗記は数学に必要な作業だと思いますので、一度解いて理解すれば十分かと思われます。

もちろん、つてを頼ってその教授の過去問から傾向を知ることはとっても重要ですね^^

お礼

ご回答ありがとうございます。
丸暗記に対しては私も疑問を感じます。そんなことしても一ヵ月後には半分は忘れているだろうし面白くないと思います。実際、自分は公式を丸暗記するよりも導き出し方を理解しながら覚えることを高校からしてました。大学いくと公式の導出が複雑かつ時間がかかるので試験前に少しは覚えておくべきなのかなと思っております。