円すいの角度を求めたいのですが

質問

半径５ミリ、高さ３０ミリの円すいの角度を求めてきなさいといわれたのですが、何をどうしたらいいのか全然わかりません。解き方がわかる方がいらっしゃいましたら、宜しくお願い致します。
解答は、59.18363543 になるそうです。

回答No.5

debut · ベストアンサー

No3です。
　No3、およびNo4の方のやり方が「手順１～４」のすべてです。

＞１、高さと半径がわっかているので、円周を求める
　　　　「底面の円周」ということだと思います。
　　　　（直径×π）なので、この問題で言えば　５×２×π＝10π　
＞２、三角形の稜線を求める（この数値が側面の半径）
　　　　　円錐を、頂点を通り底面に垂直な面で切ると断面は二等辺三角
　　　　　形ができますが、それを縦に二等分すれば　高さと底面の半径
　　　　　を２辺とする直角三角形になります。その直角三角形の斜辺が
　　　　　ここでいう「稜線」になります。円錐の母線といわれている
　　　　　部分ですね。この長さは直角三角形なので、三平方の定理を
　　　　　使って求めます。５^2＋30^2＝(稜線)^2　が成り立ち、
　　　　　稜線＝√(5^2+30^2)=√(25+900)=√925=5√37
＞３、円すいの側面部分の円周
　　　　　これは、円錐の側面部分の半径で円をかいたら　その円周は
　　　　　いくらになるか求める、ということです。
　　　　　側面部分の半径は、２、で求めた「稜線」の長さですから、
　　　　　直径×π　で、２×５√37×π＝10√37π
＞４、底の部分の円周÷側面の円周×３６０
　　　　　これは、底面の円周と側面の半径でかいた円周の比が、求める
　　　　　角の大きさと３６０度の比と等しいため、
　　　　　底面の円周：側面の円周＝求める角：３６０　より、
　　　　　求める角＝底面の円周÷側面の円周×３６０　になります。
　　　　　１～３で求めた値をここに代入すれば、
　　　　　　求める角＝10π÷10√37π×360　
　　　　　　（10π÷10√37πは分数にして10πが約分できて）
　　　　　　　　　　＝１÷√37×360
　　　　　　　　　　＝59.18363543

一般化して、円錐の底面の半径をａ，高さをｈとすれば、
稜線は√(a^2+h^2)，よってこれを半径とする円の円周は２π√(a^2+h^2)。
また、底面の円の円周は　２πａ。
よって、求める角＝(２πａ)/(２π√(a^2+h^2))×360
　　　　　　　　＝ａ/√(a^2+h^2)×360

私はエクセルがほとんど初心者以下なので自信をもっていえませんが
　　例えば　B2に底面の半径、C2に高さを入れ
　　セルD2で、=B2/SQRT(B2^2+C2^2)*360 で求まるのではないかな？

補足

debutさん　おバカな私でも良くわかるご解説、本当にありがとうございます。でも、度々で申し訳ないのですが、一つだけわからないところがあります。

２番目の答えの中で、√925をなぜ５√37にするのでしょうか。またエクセルで式を入力すれば答えは出ると思いますが、√925を５√37に変換するにはどういう式を入力すればよいのでしょうか。

恐れ入りますが、よろしくお願いします。

回答No.7

debut

＞底の円周を稜線の円周で割って３６０を掛けたものが中心の角度になる

　　これは、「円の円周と扇形の弧の長さの比」が
　　「円の中心角360°と扇形の中心角の比」　に等しいということから
　　きています。
　　図としては、稜線を半径とする円の中に、底面の円周ぶんだけの弧を
　　もった扇形が入っている状態です。だから、上の「円の円周」とは
　　「稜線を半径とする円の円周」のことであり、「扇形の弧」とは
　　「底面の円周」のことにあたります。

　　　(底面の円周)：(稜線を半径とする円の円周)＝(中心角)：３６０°
　　　比では、Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄのとき、Ａ×Ｄ＝Ｂ×Ｃが成り立つので
　　　(底面の円周)×３６０＝(稜線を半径とする円の円周)×(中心角)
　　　となり、両辺を(稜線を半径とする円の円周)で割れば
　　　(底面の円周)×３６０÷(稜線を半径とする円の円周)＝(中心角)
　　　左右を交換し、×３６０は後ろにしてもいいから、
　　　(中心角)＝(底面の円周)÷(稜線を半径とする円の円周)×３６０
　　　となります。

　よろしいでしょうか？図形の問題を図なしで説明するのはやっぱり
　難しいです。

お礼

debutさん、早速のお返事ありがとうございます。
凄く難しそうですけど、じっくり読んで、自分で考えて、どうしてもわからなかったら先生に聞いてみます。
何回も何回もお手数かけて申し訳ありませんでした。
気分的には、随分すっきりしました。
また、解らないことがありましたら、ご教示くださるようお願いします。
本当にありがとうございました。心より御礼申し上げます。

回答No.6

debut

√925を５√37にするのは、計算上の習慣です。
平方根の計算をする場合、ルートの中の数をできるだけ小さくすること
によって、式を簡単にすることが可能になります。
例えば、√125＋√180 はこのままでは計算できませんが、√125を５√５
に、√180を６√５にすることで、
　　√125+√180=5√5+6√5=11√5 のように簡単にできます。

＞√925を５√37に変換するにはどういう式を入力すればよいのでしょうか。
　　エクセルでということならば、できるのかどうかわかりません。
　　「コンピューター・・オフィス系ソフト」のカテあたりで詳しい人
　　に聞いた方がはやいでしょう。
　　基本は、√(A^2×B)=A√B のように、２乗になる数を見つけて√の
　　外に出す、ということです。√925=√(5^2×37)=5√37 というふうに。

補足

debutさん、よくわかりました。ありがとうございます。
すみません、もう一つだけお願いします。「底の円周を稜線の円周で割って３６０を掛けたものが中心の角度になる」との理由が、どうしても理解できないのですが。

宜しくご教授の程、お願いします。

回答No.4

Musicful-hearts

側面の展開図の中心角ってことかな?!
角度をaとする。
母線の長さは三平方の定理で
√(5^2+30^2)=√925=5√37
5√37*a/360=5
a=360/√37
=360√37/37
≒59.183635429928624001078008872236
よかった…一致しました。

補足

ご解答ありがとうございます。
書き込みいただいてから、先生にメールしたら、質問内容は側面を展開して高さを半径として円を描いたときの斜辺間（側面）の角度を求めるというご返事でした。そして解答の手順を教えてくれましたので、下記に示します。

１、高さと半径がわっかているので、円周を求める
２、三角形の稜線を求める（この数値が側面の半径）
３、円すいの側面部分の円周
４、底の部分の円周÷側面の円周×３６０

以上によって、求めるとのことですが、稜線がどこなのかわかりません。これでお解りになりますでしょうか。
宜しくお願いします。

回答No.3

debut

側面は展開図をかくと扇形で、その半径は５と30の三平方の定理から
√(30^2＋５^2)＝√925＝５√37
扇形の弧の長さは、底面の円の円周(直径×π＝10π)と等しいです。
また、扇形の半径で円をかいたときの円周は10√37πとなります。
半径の等しい円と扇形では、
　　円周の長さ：弧の長さ＝360°：中心角
が成り立つので、
　　10√37π：10π＝360°：ｘ°
　　√37：１＝360°：ｘ°
　　ｘ＝・・・

または、中心角＝{(弧の長さ)/(円周の長さ)}×360°で一発に求めても
いいです。

補足

ありがとうございました。
ちょっとまだ難解なんですが。申し訳ありません。
これをエクセルでセルに式を入力して求めろと言うことなんですが、そんなことできますか（半径と高さの値を変えたら自動的に変わるように）。

宜しくお願い致します。

回答No.2

Quattro99

頂点と底面の円の直径を通る面で切断した断面図を書いてみてください。

回答No.1

mmk2000

角度とはどこの角度でしょうか？

回答からいって三角関数を使いそうなのは想像つきますが、具体的な場所を指定しないことには求めづらいですね…