統計学であともうひとつわかりません。教えてください。exponential 分布

質問

何度もすみません。
あともう一つ考えたけどわからない！というのがあるので、これもまた知恵を貸してください。おねがいします。
今度はexponential分布（日本語ではわからない。。。）を使って解くそうなのですが

The distance between major cracks in a highway is assumed to follow an exponential distribution with a mean of 5 miles.
（ハイウェイにおけるクラック（壊れたもの）は仮定としexponential分布により平均5マイルです）

a) Find the probability that there are no major cracks in two separate 5-mile stretch of the highway.
（two separateの意味がよくわからない。。。）
b)Find the probability that there are no major cracks in a 10 mile stretch of the highway
（10マイルの間にクラックがひとつもない確率を求めよ）
c)Given that there are no cracks in the first 5 miles inspected. Find the probability that there are no major cracks in the next 10 times inspected
（最初の5マイルにはクラックがひとつもありません。では次の10マイルもクラックがない確率を求めよ）
d)Compute the probability that there are two major cracks in a 10-mile stretch of the highway.
（10マイル中に2つクラックがある可能性（確率）を求めよ）

です。問題多くてすみません。6問あるうち2問は解けたんですが、あと4問がどうしても解けず．。。
どうもexponential分布の解き方がよくわからないのです…
ちなみに最後の問題はポアソン分布を使って解いてみたのですが（x=2 λ＝10）答えが0.00227　ととても不自然なので自信がありません。

みなさまお願いします！

回答No.2

1_saint · ベストアンサー

私もa)は問題文の英語がよくわかりませんが、２つの別々の場所で５マイル以上クラックが無い確率ということであれば、Ｐ（Ｘ＞５）の２乗で良いと思います。
Ｐ（Ｘ＞５）＝[-exp(-x/5)]（積分区間は上が∞、下が５）＝exp(-1)　より答えはexp(-2)≒０．１３５

b)Ｐ（Ｘ＞１０）＝[-exp(-x/5)]（積分区間は上が∞、下が１０）＝exp(-2)≒０．１３５

c)Ｐ（Ｘ＞１５｜Ｘ＞５）＝Ｐ（Ｘ＞１０）
あとはb)と同じです。指数分布の無記憶性と呼んだりする性質です。

d)１つ目のクラックがあるまでの距離をX1、２つ目のクラックがあるまでの距離をX2、Ｙ＝X1+X2とおいてＹの分布を求めることができます。計算は省略しますがＹの確率密度関数は(１/２５)×ｙ×exp(-ｙ/５)となります。
求める確率はＰ（Ｙ＜１０）ですので、この密度関数を０から１０の区間で積分すれば答えがでます。
私の計算では１－３exp(-2）となりました。

お礼

前も答えてくださり、本当に感謝しています。ありがとうございます。
ｄ）以外の解答は全部合ってました。さすがですね。
ｄ）はやはりポアソン分布を使う必要があり、ｘ＝２、λ＝２となります。

ともあれ、1_saintさんの投稿、非常に助かりました。又何かあったら、是非教えてください！
それでは。ありがとうございました。

回答No.3

Ishiwara

指数分布というのは、ある時間・距離・回数の後に事象が起こる確率を示します。「過去に影響を受けない事象のモデル」です。さっきパンクしたから今後はパンクしにくいだろう、と考えることのできないモデルです。

一方、ポアソン分布は、一定範囲で、何回起こるだろうかを示すもので、指数分布とポアソン分布は、密接に関係しています。

平均５マイルで１回の事故であれば、特定の５マイルで無事故の確率は 1－(1/e) すなわち 0.645 です。これは、指数分布を定積分することで求められます。

a) は、問題文がヘンです。stretch は stretches の書き間違いではありませんか？
個々の２つの５マイル道路で、どちらも事故が起きない確率は 0.645 の２乗になります。

b) １つの10マイル道路の場合も、a) と同じことです。前半の５マイルに事故がなかったからといって、後半の５マイルには何の影響もないのですから。

c) もまったく同じです。最初の５マイルに事故があろうがなかろうが、次の10マイルに関係ありません。

d) 質問者ご指摘のように「ポアソン分布」の問題です。ただしλ＝10が間違っています。λは、問題の設定区間に対する平均故障生起数ですから、10÷５＝２となります。xも２ですが、こちらは「２回故障する確率を求めよ」の２です。答は 0.253 になります。

補足

こんばんわ。遅レスもうしわけありません。
質問に答えてくださりありがとうございます。
因みにStretchesです。ご指摘ありがとうございます。
えっと、解答がでたところによると、
確かにa)-c）のやり方は合っているのですが答えが間違っています。
答えは下の方が書いてくださっているようにexp(-1)の2乗です。
そして、ｄ）はそうなんですよね。λ＝2にしなくてはいけないんですよね。自分も後で気付きました。

ということで、ご回答有難うございました！

回答No.1

tatsumi01

英語だけですが。

The distance between major cracks in a highway is assumed to follow an exponential distribution with a mean of 5 miles.
高速道路の大きな亀裂の間の距離は平均が５マイルの指数分布に従うと仮定する。

a) Find the probability that there are no major cracks in two separate 5-mile stretch of the highway.
高速道路でつながっていない二つの５マイルの長さにおいて、亀裂がない確率を求めよ。

b) 以降
お示しの訳でよいでしょう。

指数分布については確率統計論の教科書を見て下さい。