「n の n 乗根」について

質問

電卓と戯れていて興味を持ったのですが、n = 1 から始めてだんだん n の値を大きくしていくと、n の n 乗根の値が最大になるのは、n = e（2.718281828…）の時らしいことに気づきました。

そこで質問なんですが、このことは、数学的に証明されているのでしょうか？（○○○の定理という名前がついているとか）

また、この結果の数値（1.444667861…）は、自然科学的にみて何か意味のある数値なんでしょうか？

回答No.5

mickel131 · ベストアンサー

[電卓と戯れていて興味を持ったのですが、n の n 乗根の値が最大になるのは、n = e（2.718281828…）の時らしいことに気づきました。]
電卓で調べて発見したのですか。すばらしいですね。
[また、この結果の数値（1.444667861…）は、自然科学的にみて何か意味のある数値なんでしょうか？]
きっと、何か大きな意味があるんじゃないか、とあなたの問いかけを見て、思いました。
[数学的に証明されているのでしょうか？]
証明は高校で学習する微分（理系の人だけ学ぶ進んだ微分）を用いると、比較的簡単にできます。
[（○○○の定理という名前がついているとか）]
定理名は無いと思います。これに定理名が付いているのを見たことがありません。

「証明」
X のX乗　を　X^X　と書きます。
さて、「ｎ乗根」　というものは、「1/n乗」　と同じです。
たとえば、「８の３乗根」　は、「８の１/３乗」　と同じです。
試しに、この「８の１/３乗」を３乗してみると、
(8^(1/3))^3＝8^(1/3 * 3)=8^1＝8　　（*　は　「掛ける」の意味の記号です）
８になりますね。
「３乗すると８になる数」だから「８の３乗根」です。
こうして、「８の１/３乗」は「８の３乗根」ということがわかりました。

同様に、「n の n 乗根」　は、「n　の１/ｎ乗」　と同じです。

そこで、「xのx乗根」を y と置いて、
関数　y=x^(1/x)　の最大値を微分法によって考えてみましょう。

「何々の何乗」といった式はそのままでは扱いにくいものです。
その扱いにくいものを扱いやすくする方法として、考え出されたのが対数です。
　 y＝x^(1/x)　 の両辺の対数というものを作ると、
Log[e](y)＝Log[e](x^(1/x))

この[ ]内の数を底（てい）と言います。
Log[e]( A * B ) の形の式は、
Aの上に乗っかっているBをLogの前に出して、B＊Log[e](A）と積の形に直せる、
という法則があります。
これを使うと、Log[e](x^(1/x))は、x　の上に乗っている(1/x)をLogの前に出して、
(1/x)*Log[e](x) と積形に直せます。すると、
　　　Log[e](y)＝(1/x)*Log[e](x) 　　－－－(@)　　　　　

ここで、両辺を微分します。
その際、知っておかなければいけないことが５つあります。
（１つ目）　Y＝Log[e](x) を普通に微分した答え（導関数と言います。）は、Y'＝１/ｘ　です。
（２つ目）　このY'をｄY/ｄｘ　と「分数のように」書くことがあります。
　　　　　　だから、ｄY/ｄｘ＝　１/ｘ　です。
　　　　　　ｄY/ｄｘは、Yをｘの関数と見て微分したもの、という意味の記号です。　　　　　　
　　　　　　「分数のように」と書きましたが、実際「分数のように」計算している
　　　　　　　みたいなシーンが登場することもあります。「（５つ目）」に出てきます。

（３つ目）　Yが２つの関数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）の積になっているとき、つまり、
　　　　　　Y＝ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）　のとき、これを微分した答え（導関数）は、
　　　　　　Y’＝ｆ’（ｘ）＊ｇ’（ｘ）　じゃなくて、
　　　　　　Y’＝ｆ’（ｘ）＊ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＊ｇ’（ｘ）
　　　　　　で求まります。
　　　　　　(@)の右辺は 1/x と Log[e](x) の積ですから、微分すると、
　　　　　　（1/xの微分）＊Log[e](x)＋（1/ｘ）＊（Log[e](x)の微分）
　　　　　　＝（－１/x^2）＊Log[e](x) +（１/x) *(1/x)
　　　　　　となります。

（４つ目）　Y＝g（u) で　u＝f(x) のとき、
　　　　　　Y＝g（u)＝g(f(x))
　 と書けますね。
　　　　　　ｘをYに対応させるこの関数を、fとｇの合成関数と言います。
(５つ目）
dy/du＝g'(u) ---ｙをuの関数と見て微分したときの答えがg'(u)
　　 ｄu/dx＝f'(u) ---uをｘの関数と見て微分したときの答えがf'(u)
　　のとき、y' つまり、　dy/dｘ　は、dy/du　とｄu/dxの積で求まります。
　　これを使って、左辺を微分します。
　　ｚ＝Log[e](y)　と置きます。(また、y＝x^x　です）
　　ｄｚ/ｄｘ＝（ｄｚ/ｄｙ）*（ｄｙ/ｄｘ）
＝（ｚをｙで微分した答え）*（ｄｙ/ｄｘ）
＝（１/ｙ）* (ｄｙ/ｄｘ）

以上の補足で、(@)の両辺の微分が次のようになることがわかると思います。
(@)の両辺を微分すると、
（１/ｙ）* (ｄｙ/ｄｘ）＝（1/xの微分）*　Log[e](x)＋（1/ｘ）*（Log[e](x)の微分）
＝（－１/x^2）*Log[e](x) ＋（１/x) *（1/x）
＝（１/x)^2*(－Log[e](x)) + （１/x)^2　*1
＝（１/x)^2*(１－X*Log[e](x))
この両辺にｙを掛けて、導関数は
　　　　　　ｄｙ/ｄｘ　＝（１/x)^2*(１－X*Log[e](x))* y
＝（１/x)^2*(１－X*Log[e](x))*x^(1/x)
　　　　　関数ｙ＝ｘ＾(1/ｘ)はｘが０より大きい場合で考えますので、ここに出てきた（１/x)^2やx^(1/x)は０より大きい正の数です。
ｙ’＝０　とすると、 １－Log[e](x)　＝０　
　　　　　∴Log[e](x)　＝１　∴ｘ＝e^1＝e
ｙ’＞０　とすると、 （１－Log[e](x)）＞０　∴１＞Log[e](x)
　　　　　∴Log[e](x)　＜１　∴ｘ＜e^(1)＝e　　
　　　　　ここで、ｘ＞０がもともとの条件としてありますので、　０＜ｘ＜e

ｙ’＜０　とすると、　（１－Log[e](x)）＜０　∴１＜Log[e](x)）
　　　　　∴Log[e](x)　＞－１　∴ｘ＞e^(1)＝e

以上から、この関数ｙ＝ｘ＾（１/ｘ)の増減は、
０＜ｘ＜e　のとき、ｙ’＞０　より、増加の状態、
ｘ＞e　　　のとき、ｙ’＜０　より、減少の状態、
となりますから、この関数は、
ｘ＝e　のとき、最大値をとることがわかります。

ｘが０からeの間の数　のとき、
ｘが増えれば増えるほどｘ＾(1/ｘ)は大きくなり、
ｘ＝e のとき最大になり、
ｘがe より大きくなると、
ｘが増えるに従って、ｘ＾(1/ｘ)はだんだんと減っていく、
ということがわかります。
最大値は、ｘ＝e のときで、
ｙ＝ｘ＾（１/ｘ)＝（e)^(１/e)＝(eのe乗根）

2.718281828…の2.718281828…乗根が最大
って、何か深遠な意味があるかもしれませんね。

お礼

回答ありがとうございます。
n=e の時に最大になることが、ようやく納得できたような気がします。
（最初、読んでいて目が回ってしまった（^^）のですが…）