無理数

質問

無理数ってずーっと数字が続きますが、計算を無限に続ければ
出てくる数字は０～９まで同じ数と考えて良いのでしょうか？
同じ数と考えられるなら、それを証明できるのでしょうか？
それとも、そんな事は計算してみなくてはわからないのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

tatsumi01 · ベストアンサー

> 出てくる数字は０～９まで同じ数と考えて良いのでしょうか？
これは、
全ての数字の出てくる比率は同じになるか
という質問でしょうか。

もしそういう意味なら違います。出現確率が異なる無理数は作れるでしょう。
０．１０１１０１１１０１１１１０１１１１１０１１１１１１・・・
のように、「０」を間に挟んで「１」の個数が順々に増えて行く数は恐らく無理数だと思いますが、数字の出現確率は異なりますね（１０進数で考えても、２進数で考えても異なります）。「０」～「９」を全て使うけれど比率が違う無理数も恐らく作れます。

ただ、πの場合にどうなるか。出現確率の統計がどこかにあると思うのですが、東大の金田康正先生が書いてないかな。

お礼

お返事ありがとうございます。
なるほど、特定の数字しか表れない無理数はあるのですね。

πの場合はどうなるのでしょうね。ありがとうございました。

回答No.10

tatsumi01

無限ケタ数までの数字の出現回数の比較について。
確かに、無限個同士の比較は意味がありません。しかし、次のように考えることもできます。

小数点以下 Nケタまで計算し、0の個数をN(0)、1の個数を N(1)、．．．、9の個数を N(9)とします。（N = ΣN(i) です。）

このとき、各数字の比率は
a(i) = lim N(i) / N （N → ∞）
です。これが収束するかどうかは不明ですが、ある種の無理数については計算できるでしょう（e.g. 0.012345678900112233445566778899000111222333444555666777888999...)
したがって、8942 さんの疑問は
式(1): a(0) = a(1) = a(2) = ..... = a(9)
であるか、と解釈することができます。

もちろん、No. 2 の回答に示したように、そうならない無理数は存在します。

お礼

お返事ありがとうございます。
私の疑問はこのような数式で書き表すことができるのですね。
ありがとうございます。

回答No.9

BaritoneSax

＃1の回答に対するコメントについて　です。
「無限」の大きさの比較　に問題があるようです。
たとえば、
『「すべての数」の総量と「すべての数の９倍の数」の総量は等しい。つまり「９の倍数」の総量は「すべての数」と等しい。ゆえに「９の倍数」以外の数は「すべての数」の中にはない』
という無限要素の比較は明らかに誤りです。

無理数を数字で表す場合の０～９の文字の出現回数の多寡は「比較できない」が正しいと思います。

お礼

お返事ありがとうございます。
なんか専門的な説明ですね。がんばって呼んでみましたが、
少しはわかったような気がします。
ありがとうございました。

回答No.8

ryn

頻度が同じになる例
　0.012345678900112233445566778899000111……
頻度が同じにならない例
　0.110100100010000100000……
のように物によって違うので，一般の無理数に関していえば
「出てくる数字は０～９まで同じ数と考えて良いのでしょうか？」
は偽になります．

√2 や π の場合についてはわかりませんが，
個別に証明していくしかないと思います．

お礼

お返事ありがとうございます。
無理数にもいろいろある事がわかりました。

√２やπにつて、証明がなされていないというのが以外でした。
証明は難しいのでしょうね。

回答No.7

chie65536

追加。

「無理数の小数部では、０～９の数字の出現頻度はどれも同じになる」と仮定した上で、逆から考えてみます。

小数部に整数（但し数字「２」を含む整数を除く）を１から順に永遠に並べた
0.134567891011131415161718193031333435363738....
は、無理数です。

そうすると、この無理数は数字「２」を１つも含みません。

つまり「無理数の小数部では、０～９の数字の出現頻度はどれも同じになる」と言う仮定は成り立ちません。

お礼

なるほど！　ありがとうございます。

回答No.6

fronteye

無理数にもいろいろな種類があります。
たとえば、小数点の後に自然数を並べてできる数は無理数(超越数)ですが、当然 0～9 の出現頻度は等しくなります。
0.12345678901011121314151617181920212223242526…

質問での無理数とは √2 のような平方根、もしくは円周率や自然対数の底ｅに関してのことですよね。
これらの無理数を10進小数で表記した場合 0～9 の数字の出現頻度は等しくなるのか、ということですよね。

結論を言えば「わかってない」です。
これらの数の出現頻度の均等性や乱数性についての証明はありません。

ただし統計的に調べると、円周率では1兆桁を超えて求められており、その範囲では良い乱数性を持っているそうです。

お礼

お返事ありがとうございます。
＞質問での無理数とは √2 のような平方根、もしくは円周率や自然対数の底ｅに関してのことですよね。
＞これらの無理数を10進小数で表記した場合 0～9 の数字の出現頻度は等しくなるのか、ということですよね。

そのとおりです。

1兆桁を超えて円周率は求められているのですね。すごいですね。
ありがとうございます。

回答No.5

chie65536

無理数の小数部の０～９の出現頻度に決まりはありません。

例えば、小数部に整数を１から順に永遠に並べた
0.1234567891011121314151617....
は無理数です。

同様に、整数を100000000000000000001から順に並べた
0.100000000000000000001100000000000000000002....
も無理数です。

でも、後者は確実に偏りがあります（最初の段階で０が異常に多い。延々続けても出現頻度の差は縮まるが、出現頻度は同じにはならない）

「無理数の定義」と「各桁の数字の出現頻度」に関連性はありません。各桁の数字の出現頻度は無理数の定義の中には含まれていないので、関連性が無くて当然です。

お礼

お返事ありがとうございます。
＞「無理数の定義」と「各桁の数字の出現頻度」に関連性はありません。各桁の数字の出現頻度は無理数の定義の中には含まれていないの＞で、関連性が無くて当然です。

なんとなくわかります。ありがとうございました。

回答No.4

molly1978

循環小数は無理数ではないので、無理数の各数字の出現率は常識的には同じだと思います。証明は可能だと思いますが、私にはできません。

お礼

お返事ありがとうございます。
＞出現率は常識的には同じだと思います。証明は可能だと思いますが

私もそんな気がします。

回答No.3

funoe

>それぞれの数字の個数は同じ数になっていって、
無限に計算すれば皆同じ数になるのでしょうか？

円周率の場合は、大きな桁数まで計算したところ、どうやらほぼ同じ程度に０～９の数字が現れるようですが、証明はされていません。

無理数によっては、０と１しか現れないものもありますので、当初のご質問に対する回答は、「数によってそうなるものもあるだろうし、そうならないものもある」となります。

お礼

お返事ありがとうございます。
円周率の場合は証明されていないのですね。

たしかに無理数によっては０と１しか現れないものもありますね。
ありがとうございます。

回答No.1

neKo_deux

> 出てくる数字は０～９まで同じ数と考えて良いのでしょうか？

円周率の3.141592…の、
「3.<1>4」と「4<1>5」の<1>が同じ数か？って事でしょうか？

同じ数字ですが、一方は0.1、もう一方は0.001で、違う数です。

--
3.141592…141592…141592…

と同じ数が出てくるか？って事ですと、無理数では出てきません。
(たまたま何桁か、何十桁かが同じになる事はありえますが…)

お礼

お返事ありがとうございます。
私が言いたかったことは、たとえば円周率でいうなら、
3.141592まで計算したなら、１は2個、２は１個、３は1個、４は1個、
５は1個、６は0個、７は0個、８は0個、９は1個、０は0個ですね。
こんな風に出現した数を種類毎にカウントしてゆくと、
計算を進めればどんどん、それぞれの数字の個数は同じ数になっていって、
無限に計算すれば皆同じ数になるのでしょうか？
それを証明は出来るのでしょうか？と聞きたかったのです。
説明が下手でした。すみません。