導関数の記号 dy/dx の意味は？

質問

高校の先生から、微分（導関数）の記号：dy/dx は、１つの記号であって、
分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。
しかし、逆関数での微分では、dy/dx を 1/(dx/dy)にしたり、積分するとき
の記号では、最後に dx をつけ、あたかも分母だけをつけた形にしています。

初めの dy/dx は、「dy は分子、dx は分母」と素直に考えたほうが
いいのではないでしょうか？

回答No.8

siegmund

chukanshi さんの言われるとおりですので，少し蛇足を．

もともと微分係数は Δy/Δx の Δx→0 の極限でしたから，
もとの分数の形を残して dy/dx とライプニッツは書いたのでしょう．

高校では dx や dy は独立の量ではないと教えるのが普通ですが，
もう少し上のレベルになると dx や dy は独立の量として扱います．
そういう意味では，質問の
> 「dy は分子、dx は分母」
が復活したとも言えます．
ただし，極限操作が背景にあることはいつでも頭に入れておかなければなりません．

本来，「微分」とは dx や dy のことを言います．
微小変化分(微小増分)ということでしょう．
dy/dx は導関数，微分係数，微分商，などと言うのが本来の名前です．

y=f(x) の dx と dy の関係を dx の１次までで近似して
dy = A dx と書いたときの A がちょうど f'(x) になっていて
(1)　　dy = f'(x) dx
の両辺を dx で割ったものが
(2)　　dy/dx = f'(x)
です．
(1)はテーラー展開の第１項と見ることもできます．

こういうあたりが，chukanshi さんの言われるライプニッツの記号の威力です．

積分ももともとは
(3)　　Σ {j=1～N} f(x_j) Δx,　　　Δx = (b-a)/N
の N→∞ の極限でしたから，積分に移行するときにΔx のところを
dx と書いて
(4)　　∫{a～b} f(x) dx
と書いているのです．

ニュートンの記号では dx に相当するものがありませんでした．
ライプニッツの記号ですと，dx のところを (dx/dt)dt と書き直して
置換積分の形がすぐ出てきます．

ただし，やはり限界はあるわけで余り無神経にやっていると間違った結果を
引き起こします．
例えば，２次元の積分で
(5)　　∬ g(x,y) dx dy
の変数を r,θに変換するときに
(6)　　dx dy = (dx/dr) (dy/dθ) dr dθ
とやってしまってはいけません
割り算というなら(6)は良さそうですけれどね
(6)の間違いは理工系の大学１年生くらいではよく目にします．

お礼

ありがとうございました。
高校レベルでは dy、dx を独立な量としてでは扱わなく、大学レベルでは
独立な量として扱うんですね。
…私としては、（極限操作が背景にあることはいつでも頭に入れておいて）
初めから独立な量として習ってもよいと思いますが。

高校では 、dy/dx の読み方が「ディーワイ・ディーエックス」ということ
を教わっただけで、「分数ではない」ということの詳しい説明はありません
でした。

とにかく、ライプニッツの表記法は便利な書き方だということがわかりました。
でも、２重積分では、安易に分母分子のように扱っていると間違いになるよう
ですね。