数IIIですが

質問

aを正の定数とする、座標平面において、点（-1,0）を通る直線が楕円x^2+y^2/a^2=1により切り取られる線分の長さの最大値を求めよ、と言う問題で。直線をy=m(x+1)とし、楕円の式に代入すると、x=a^2-m^2/a^2+m^2　y=2a^2m/a^2+m^2となり
線分L=√4a^4(1+m^2)/(a^2+m^2)^2
L^2=4a^4(1+m^2)/(a^2+m^2)^2
L^2が最大値の時にLも最大になりので、
(L^2)´=-8a^4m〔m+(a-√2)〕〔m+(-a+√2)〕/(a^2+m^2)^3までできたのですが、ここから増減表までもっていけず。何かアドバイスをいただけたら幸いです。よろしくお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

＞(L^2)´=-8a^4m〔m+(a-√2)〕〔m+(-a+√2)〕/(a^2+m^2)^3

　の式が出る直前は、=-8a^4m(m^2-a^2+2)/(a^2+m^2)^3となってませんか？
　すると、m+(a-√2)のようにしたことが誤りになります。
　{m+√(a^2-2)}{m-√(a^2-2)}となるのではないでしょうか？
　それで、m=0,-√(a^2-2),√(a^2-2)で増減表がかけます。
　ちょっと確認してみてください。

　また、楕円上の点を、この場合なら(cosθ,asinθ)とおく方法もあり
　ます。

お礼

いつもアドバイスありがとうございます！理解できました。因数分解が誤ってました。

回答No.4

kakkysan

切り取る線分の長さを求めるには、解と係数の関係を使った方がずっと楽になります。

増減表：mが正の時も負の時も考えるから話がややこしくなる。また定義域は　-1<=-x<=１　にも注意して

図形的にはx軸に関して対称ですから、m>=０の時だけを考えれば十分でしょう。

√2-aの正負、１より大きい・小さい　　を考慮に入れて増減表を考えられたらよいでしょう。

お礼

ありがとうございます！頭の整理ができました。

回答No.3

F_P_E

先程のものです。

失礼しました。a<1の場合は長半径が最大値となるでしょうが、a>1の場合はわからないですね。

すみませんでした。

お礼

ありがとうございます！場合分けが必要でしたね。ど－もです！

回答No.2

F_P_E

はじめまして。

あの～、僕の問題の読み間違いであればよいのですが、"y = m(x+1)"とかおく前に、明らかに切り取られる線分の長さの最大値は長半径である2ではないのでしょうか。

点（-1,0）は楕円上にありますので。。。