123…321*45

質問

1からはじまり連続した数が隣り合い1で終わる自然数に45をかけると答えが5と4のみで表された数になります。
121*45＝5445
12321*45＝554445
12323432321*45＝554554454445
これはなぜでしょうか。ずっと考えているのですが糸口が見つかりません。

回答No.2

Tofu-Yo · ベストアンサー

証明で書くと長いので具体例で解説します。一般も同様です。
最初に与えたれた式が12121だったとします。これは以下のように分割できます。
+11111
+ 1111
- 111
+ 11
- 1
一般の場合符号+、-の順番はわかりませんが、1の位が1なので数としては+が-より1個多いことになります。これに5*9をかけるのですが先に9をかけます。
+99999(=+100000-1)
+ 9999(=+ 10000-1)
- 999(=- 1000+1)
+ 99(=+ 100-1)
- 9(=- 10+1)
+が-より1個多いので端数+1,-1,・・・,+1の合計は+1となります。さらに5をかけると、
+500000
+ 50000
- 5000
+ 500
- 50
+ 5（←端数の+1*5)
あとは+,+-,+-,+に区切って考えると500000+45000+450+5=545455となりますから、結局4と5がならぶことになるのです。（一般のときの区切り方は+,+-,+--,+---というふうに『「+」一個とその後連続する限りの「-」』を一区切りにします。-の数がm個なら4がm個ならんで最後が5という数字になります。）

お礼

エレガント！ありがとうございます。理解できました。

回答No.6

endlessriver

{a1}{a2}...{an}*(100-10)/2
=[{a1}{a2}...{an}{0}{0}]/2-[{a1}{a2}...{a(n-1)}{0}{0}]/2-an*10/2
=[{a1/2}{(a2-a1)/2}{(a3-a2)/2}...{(an-a(n-1))/2}{0}{0}]-5

ここで上から１桁目の{a1/2}は０．５ですから下の桁へ５が渡されます。
つぎの２桁目の(a2-a1)/2は「０．５」。次の桁へ「５」が下ります。すなわち、始めの桁はかならず「５」です。

一般の桁は(ai-a(i-1))/2は「＋０．５」か「－０．５」。
すなわち、上の桁から５が下り来るので、「５．５」か「４．５」になります。いずれでも必ず、次の桁へ「５」が下ります。

下から３桁目は{(an-a(n-1))/2=-0.5となります。したがってここは必ず「４」です。下から２桁目へは５が下がっていますから外の「－５」を加えて下からの２桁は「４５」になります。

すなわち、必ず「５．．．．４４５」のような数になります。

お礼

わかりやすい証明です。簡潔にまとまっていますね。
ありがとうございました。

回答No.5

ringohatimitu

Ｎｏ１です。補足に対する回答ですが９９９９９のように９が連続した数に４と５をランダムに並べた数を足すわけですが一つ注意することはこの場合５桁の９に対して４５５４５５のように最初４で始まり５で終わる「一桁多い」数を足さなければならないということです。これは下の証明を見ればわかると思います。そこでなぜまた４，５だけから成る数になるかというと４、５を９に足すと必ず繰り上げがあり４，５どちらを足しても繰り上げの後４または５になることは明らかです。

回答No.4

Tofu-Yo

たびたびですみません・・・・（＞＜）。No.2にケアレスミスがありましたので訂正します。端数の合計は-1が1より一個多いため式
+500000+・・・
の最後の項は-5でしたね。考え方は一緒で、最後の区切り方は+,+-,+--になります。なのでこの場合の答えは545445です。失礼しました。

回答No.3

Tofu-Yo

ひとつ補足です。念のため最後の（）内の説明もしておきますね。直観的には簡単な話なんですが500000-55555=444445みたいなことがどんな桁でも成り立つかということ説明します。500000を499999+1に分割し、(499999-55555)+1と計算順序を変えると（）内では各桁で9-5を行ってますから444444+1=444445。この手順なら一般的にも証明できます。
ちなみに今回質問者の方が提供してくださった数の性質は私も知りませんでした。ありがとうございました。数学って奥深いですね・・・

回答No.1

ringohatimitu

なかなか面白い性質で今まで知りませんでした。有名なんですかね。とりあえず帰納法で示すことができますがその場合キーポイントは４と５をランダムに並べた数に９９９９９のように９が連続した数をたしてもひいても得られる数は再び４と５から成るということです。さて３桁の場合は質問にあるように実際計算から明らかです。そこで例として次に５桁を考えます。最初両端以外に１は含まない数を考えます（中に１が入ってる場合は後で同じように示します）。中に１が無いと仮定してますからその数から１１１１１をひくと右端０、それ以降はもとの数より二桁少ない１から始まり１で終わる連続した数となっています。ここに帰納法の仮定を使って４５をかけて得られる数は４と５だけから成ることがわかります（下一桁目は０）。この数をＡ（下一桁目は０です）としましょう。さて１１１１１に４５をかけると最初４、中がすべて９、最後が５という数になります。これにＡを足すわけですが最初の４というところの桁には繰上げで足される場合５になり繰上げされない場合でもそのまま４です。あと中は実際計算すれば明らかなように４と５だけから成ります。これで元の５桁の数に４５をかけたら４と５から成る数になることが証明されました。一般のｎ桁の場合も（ただし１で始まり１で終わることから必ず奇数桁になることに注意してください）全く同じように示せます。さて次に中に１がある場合ですが基本的に同じで今度は１１１１１をひく代わりに「その５桁の数の最後に０をつけたものに」１１１１１１１という２桁多い数を足してやります。そうすると得られる数は１で始まり、中に１がなく、１で終わる数です。これに４５をかけると先程証明したように４と５だけから成る数になります。これから今度は１１１１１１１×４５をひかなければなりませんが先程と同じく最初４、最後５で中がすべて９の数をひくと４と５が並び最後の下一桁０という数になることが簡単にわかります。ここで下一桁の０をとれば証明終わりです（例えば１２３２３２１－１２１２１０＝１１１１１１１）。説明が上手くないですがやろうとしてることは非常にシンプルなものです。多分もっとよい方法があるとは思いますがとりあえず一つの方法を書いてみました。

補足

なるほど、帰納法を使うのですね。

"４と５をランダムに並べた数に９９９９９のように９が連続した数をたしてもひいても得られる数は再び４と５から成る"
この部分はどのように証明されますか？

"「その５桁の数の最後に０をつけたものに」１１１１１１１という２桁多い数を足してやります。"
これはgood ideaですね。