未知数の数と必要な方程式の数が等しい理由

質問

未知数の数だけ方程式の数が必要なのはなぜでしょうか？またこのことは確かなのでしょうか？
未知数が二つあれば方程式が二つ必要、ということには、今まで何の疑問もなくそうのように考え、今までそれでやってきました。しかし、今頃になって、本当に良いのだろうか思うようになりました。考えてみると、未知数二つに対して方程式一つでは、解けませんし、二つあれば確かに解けそうです。二つの方程式が適切なものあれば解けそうです。このことは、いままでみんながそうしているから間違いないだろう、自分の経験でも確かにそうだから、と思っていました。しかし、未知数の数だけ方程式の数が必要ということの理由や、それで大丈夫という証明は教わったことがないような気がします。馬鹿な疑問かもしれませんが、なにか教えていただけれると助かります。

回答No.4

Willyt · ベストアンサー

証明は簡単です。
Ｎ個の未知数を含むＮ個の方程式の任意の一つを取り出すと、これによって一つ未知数を消去できますね。これをＮ－１個の方程式について行なうと最後に残った方程式の未知数は一つとなり、これからその未知数の価を求めることができます。あとは消去した逆をたどれば残りの未知数も求められることになります。
　ただしＮ個の方程式を用意するというのは解くための必要条件であり、十分条件ではないことに留意してください。解けない場合があるのです。それはＮ個の方程式の中に他の方程式を足したり引いたりすると、その方程式になってしまうものが紛れ込んでいる場合です。一次連立方程式のときにはこれがときどき起こりますから用心してください。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
大変よくわかるご回答ありがとうございます。
証明の仕方まで教えていただいてありがとう
ございました。

回答No.3

yanasawa

証明ではありませんが・・・

ｎ元１次連立方程式はｎ×ｎ行列を用いて解けますね。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
確かにそうですね、ｎ×（ｎ－１）行列では
とけない。

回答No.2

rinkun

対象は連立一次方程式でよろしいでしょうか。
2次方程式を含むと例えば
　x^2+y^2=0
の解は(x,y)=(0,0)で、二つの未知数に対して一つの方程式で解が一意に定まってしまいます。

連立一次方程式については、n個の未知数(x1,...,xn)はn次元ベクトル空間を作り、各方程式
　Σ[j]a[i,j]*x[j]=b[i], i=1,...,n
はn-1次元超平面を示します。
交わる超平面は交わるごとに次元を1つずつ減らし、n個の交わりは0次元すなわち1点を示します。
これが未知数の数だけ(独立した)方程式が必要になるわけです。
方程式の数が足りなければ足りない次元分だけ解に自由度があり、方程式の数が多ければ解は空集合になります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
なるほど、空間的に考えると良くわかります。
交わるごとに次元を一つづつ減らし最後には
一点になるというのは、納得しやすいですね。

回答No.1

laputart

自分なりの解釈ですが、単純な場合はグラフを書いてみるとよく分ります。例えば　Y=2X という式をグラフにすると、どのXに対しても一つのYが存在しますからXとYの組合わせは無限にある事がわかります。
新たにY=-Xというグラフを描いて２つのグラフの交点が只１つだけ存在する事がわかります。これが２つの式の条件を両方とも満たす店であり唯一のYとXが決ります。　これを基本に未知数３つの場合は平面グラフでは無理ですが３次元で考えるとわかります。また２次数以上の場合は交点が複数現れたり、交点がない場合もあります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。そういう納得の仕方もありそうですね。

補足

私は、こんなことを考えています。
未知数二つ,ａ、ｂに対して、方程式が二つあると、
Ｆ（ａ、ｂ）＝０
Ｇ（ａ、ｂ）＝０
これから、もしｂが消去できれば、
Ｈ（ａ）＝０
もしこれが解ければａが解け、ＦかＧにａを代入して
もし解ければｂが求められる。
でも、これは単に方程式を解いているだけで、
本当にこれだけで良いのだろうか、と思って
しまいます。