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微分方程式の数値解法
motsuanの回答
- motsuan
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基本的に境界値問題のことをおっしゃっているのだとおもいますが 線形であれば 線型方程式を解く方法もあると思います。 Σa_n(x) （∂ /∂ｘ）^n f(x) = Ｃ というようなものであれば、結局、各場所の値 f(x_j) (j=1,2,...,N)を未知数として、 方程式から境界条件を除いて適当な数の連立方程式がえられますよね（適切な問題であれば）。 たとえば、端の点の値が与えられているのであれば、１階の微分方程式であれば完全にきまって、 2個の境界条件と微分方程式を差分式になおしたN-2個の連立方程式が得られて 結局、線形連立方程式に帰着できることがわかります。 でも、線形じゃないばあいはやっぱり「いろいろやってみる」方式のようで、 Mathematica などでは（マニュアルによると） 非剛性アダムズ(Adams)法と剛性ギア(Gear)法とを交互に切り替えるのだそうです。 http://www.wolfram.com/products/calculationcenter/features/solvers.ja.html ちなみに 線型境界値問題の場合はゲルファンド・ロクチェフスキー(Gel'fand-Lokutsiyevskii)追跡法 だそうです。 確認できなかったのですが、方程式には硬い軟らかいのがあるそうで http://grape.c.u-tokyo.ac.jp/~makino/kougi/system_suuri4_1999/note8/node1.html 局所的にそれを切り替えて収束をはやくしているようです。 非線形数値計画法とかの（準）ニュートン法の微分方程式版みたいなものなのでしょうか？ あと、Ｌ（f(x) ）＝０を微分方程式として 発展方程式 (∂/∂t ) f(x) = Ｌ（f(x) ） ＋「境界では境界を満たすようにする」 を考えて、（良く収束するとして）、 発展方程式の時間を進めて 定常解 (∂/∂t ) f(x) ＝０を解とするという考え方もありますよね。
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