三角形の面積比

質問

任意の三角形の各辺を順番に２：３に内分する点を各返上にとり、その３つの各点を対する、三角形の各頂点と結ぶと元の三角形の中に小さい三角形ができます。元の三角形と新しくできた小さい三角形の面積比を求めよ。
　前に一度やったことがあるのですが、解き方を忘れてしまいました。誰かヒントでもいいから、教えてください。

回答No.3

atsuota

この手の問題を幾何的に（比を使って）解くには「チェバの定理」や「メネラウスの定理」を使うと便利です。
（私は高校受験参考書で覚えたのですが、指導要項が当時と変わっているため、学校で習うのかどうかは不明です。しかし大変便利なので、ぜひ覚えておいたほうがよいでしょう。）

まずは定理の紹介から。（証明は省略）
三角形ABCの辺ABの内分点をD、辺BCの内分点をEとし、線分CDと線分AEの交点をGとする。
「メネラウスの定理」
(DB/AD)*(CE/BC)*(AG/GE)=1
同様に
(BE/EC)*(AD/AB)*(CG/GD)=1

「チェバの定理」
さらに直線BGと辺CAの交点をFとすると
(DB/AD)*(EC/BE)*(FA/CF)=1

＃２のslackwareさんの方法をこの定理を使って考えると、どこに補助線を引いたらよいかを考えなくても解けてしまいます。
AX/XEが求めたければ、線分ADB、線分BEC、線分AXEに対してメネラウスの定理を使います。
(DB/AD)*(EC/BC)*(AX/XE)=1
今DB:AD=3:2、EC:BC=EC:(BE+EC)=3:5なので、
(3/2)*(3/5)*(AX/XE)=1
よって、AX/XE=10/9
ここから先の計算は同じで、
答えはΔABCΔXYZ＝１９：１となります。

別解としてベクトルを用いる場合。
ベクトル記号が書きにくいので、ここではAからBへのベクトルを「AB→」と書きます。
また、図形上の各点の名前は＃２slackwareさんが定義されたものをそのまま使います。
[解答]
AB→とAC→を基準にして表すことにする。
AX→ = t*AD→ + (1-t)*AC→
　　 = (2t/5)*AB→ + (1-t)*AC→
一方、
AX→ = k*AE→
　　 = k*{(3/5)*AB→ + (2/5)*AC→}
よってk=10/19となり、
（ちなみにこれでAX:XE=10:9が示されたので、ここから幾何的に解いてもOKです。）
AX→ = (6/19)*AB→ + (4/19)*AC→
次に
AY→ = t*AB→ + (1-t)*AF→
　　 = t*AB→ + (3/5)*(1-t)*AC→
一方、
AY→ = k*AE→
　　 = k*{(3/5)*AB→ + (2/5)*AC→}
よってk=15/19となり、
AY→ = (9/19)*AB→ + (6/19)*AC→
次に
AZ→ = t*AD→ + (1-t)*AC→
　　 = (2t/5)*AB→ + (1-t)*AC→
一方、
AZ→ = s*AB→ + (1-s)*AF→
　　 = s*AB→ + (3/5)*(1-s)*AC→
よってt=10/19となり、
AZ→ = (4/19)*AB→ + (9/19)*AC→

さて、以上より
XY→ = AY→ - AX→
　　 = (3/19)*AB→ + (2/19)*AC→
XZ→ = AZ→ - AX→
　　 = (-2/19)*AB→ + (5/19)*AC→

さてΔXYZの面積を求めると、
ΔXYZ = (1/2)*|XY→ x XZ→|
= (1/2)*{(15+4)/19^2}*|AB→ x AC→|
= (1/19)*(1/2)*|AB→ x AC→|
= (1/19)*ΔABC
よって、ΔABC：ΔXYZ＝１９：１

お礼

２とおりの解き方を教えていただきありがとうございました。両方ともよくわかりました。またいろいろと教えてください。