- ベストアンサー
三角関数の和積の公式について
sinA+sinB=2sin{(A+B)/2}・con{(A-B)/2}・・・(1) sinA-sinB=2cos{(A+B)/2}・sin{(A-B)/2}・・・(2) などの、和積の公式があると思うのですが、右辺の{(A-B)/2}のところで、疑問に思ったのですが、角度の条件として、A>Bという条件はついているのでしょうか。もし40°と30°を和積する場合に、(1)だと、どちらをA,Bにしても値は変わらないと思うのですが、(2)の場合だと、A=40°,B=30°のときは、sin10°になるけど、A=30°,B=40°のときはsin(-10°)になりますよね。そして、sin10°≠sin(-10°)だから、結果も違ってきますよね。このように考えると、混乱してしまうのですが、どのように考えればよいのでしょうか。よろしくお願いします。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- taka41
- ベストアンサー率27% (3/11)
himaaaaさんが書かれている通りです。具体的には、 A=30,B=40とすると sin30-sin40 = 2cos(70/2)sin(-10/2) sin30-sin40 =-2cos(70/2)sin( 10/2) 両辺-1で割ると -sin30+sin40 = 2cos(70/2)sin( 10/2) sin40-sin30 = 2cos(70/2)sin( 10/2) でA=40,B=30と同じ答えになります。 不思議に思った時はまずは確かめ算ですね。 見落としを見つけることが理解への近道ですよ。
お礼
taka41さんこんにちは。やはり、実際に計算してみないと行けませんね。頭だけで考えていました。もう一度taka41さんと同じ手順で自分で紙に書いて確かめておきますね。どうもお返事ありがとうございました。
関連するQ&A
- 加法定理、和積の公式、積和の公式、暗記すべき？
三角関数には加法定理、和積の公式、積和の公式などたくさんの公式がありますが、たとえば、高校生の指導者の立場としては、 生徒に「丸暗記しなさい」といったほうがいいですか？ 「覚えるのはたいへんなので、毎回、導き出しなさい」といったほうがいいですか？ ケースバイケースかもしれないですが、豊富な経験の先生方のご意見をお伺いしたいです。 参考 加法定理 sin(α + β) = sinαcosβ + cos α sinβ sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ 2倍角の公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2α - sin^2α=1-2sin^2α =2cos^2α - 1 半角の公式 sin^2(α/2) = (1 - cosα)/2 cos^2(α/2) = (1+ cosα) / 2 積和の公式 cos α sinβ = (1/2)(sin(α + β) - sin(α - β) ) sinαsinβ = (-1/2)(cos(α + β) - cos(α - β)) 和積の公式 sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2) cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積和公式で・・・
積和公式【sinasinb=-1/2{cos(a+b)-cos(a-b)}】 を利用して、∫sin2xsin4xdxを解こうと思ったのですが、 -1/2∫(cos(2x+4x)-cos(2x-4x))dxとなったわけですが、2つめのcosの中身が-2xとなるので、 -1/2∫(cos6x+cos2x)dxとなるのかなぁと思ったのですが、cosの中身(2x-4x)は負の値でも外に符号を出したりしないで、cos(-2x)としないといけないのでしょうか・・・？ あとsinasinbの意味って、sina×sinbですよね・・・？ 基本的なことですが・・・すみません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学IIの三角関数の和と積の問題について
青チャートの問題で sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosB/2 を証明せよ という問題で sinA+sinB+sinC が 2sin(A+B)/2・cos(A+B)/2+sin・2(A+B) になるまでは分かったのですが、これがどうして 2sin(A+B){cos(A-B)/2+cos(A+B)/2} に変形されるのかが分かりません。教えてください。
- ベストアンサー
- 科学
- 三角関数の和積公式の証明についての質問です。
ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）／２・ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／２ …（＊） が成り立つのはＡ＝α＋β，Ｂ＝α－βのときらしいのですが、これが成り立たないときでも（＊）は成り立つらしいです。 （例：Ａ＝ａ＋ｂ＋ｃ，Ｂ＝ａ－ｂ） このときはどのように証明されるかよく分かんないので、詳しく教えていただけたら嬉しいです！！
- 締切済み
- 数学・算数
- 三角関数 和積・積和のスマートな導き方は？
和積・積和は暗記したくないので、今は導いて使用しています。 思考過程に無駄な箇所が無いか教えてください。 【１】 sinα＋sinβ ＝sin(A+B)＋sin(A-B) ＝sinAcosB＋cosAsinB＋sinAcosB－cosAsinB ＝2sinAcosB -----上記4行の思考過程------------------------------------ まず、sinα＋sinβを処理しなければならないとき、 ＝sin(A+B)＋sin(A-B)とします。理由はこれを省くとAとBって なんだったっけ？となってしまうので。そして、次に ＝sinAcosB＋cosAsinB＋sinAcosB－cosAsinB を書きます （実際は書いている最中に頭の中で答えが見えてくるのでこの 行は実際は半分くらい書いて次に進みます）。そして、 ＝2sinAcosB と書き、α＝A+B、β＝A-B から、A＝（α+β）/2、 B＝（α-β）/2を計算し、代入して、答えとします。 sinα±sinβ、cosα±cosβの４つはこの方法でやります。 【２】 また逆の作業である、積を和にするのを実際にやってみたのですが、 計算が煩雑になり、簡単な方法を見つけられませんでした。 積和において簡単な変換方法は無いのでしょうか？ありましたら 教えてください。 少しわかりにくいですが、質問は2点です。 【１】上記 sinα＋sinβ の変換方法に無駄が無いか、あるいは もっと良い方法があるか 【２】積を和にする良い変換方法が無いか、あるいは もっと良い方法があるか です。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学IIBの三角関数の分野
三角形ABCにおいて、A=2π/3のとき、次の設問に答えよ。 （１）sinB+sinCのとり得る値の範囲を求めよ。 （２）sinBsinCのとり得る範囲の値を求めよ。 （１）で、A+B+C=πとA=2π/3より、C=π/3-B よって、sinB+sinC=sinB+sin(π/3-B) これを和積の公式で解くと con(B-π/6) ここまでは分かりました。 ここで(B-π/6)の範囲を求めたいわけです。 模範解答では、-π/6<B-π/6<π/6 なんですが、なぜこうなるのかが分かりません。 Bの値が分からないのに、なぜこの範囲になるのかが分かりません。 （２）も同様に、積和の公式で最後まで解くと 1/2cos(π/3+2B)-1/4 になると思うのですが、これも(π/3+2B)の範囲の求め方は分かりません。 sinx+cosx=1/5 のとき、tanx/2 の値を求めよ。 この問題は考え方が分かりません。 条件式を二乗したりしたのですが、分かりませんでした。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学II 三角関数の質問です。
ある問題集で疑問点があったので質問させていただきます。 添付画像の問題で(1)から(2)の過程で sinA+sinBは和積の公式を使用しているのは分かりました。 ここで質問なのですが、sin(A+B)がいきなり2sin(A+B/2)cos(A+B/2)となっていたので少し戸惑いました。 解釈としては添付画像の点線以下のものでよろしいのでしょうか？ またsin(A+B)と来たらすぐに2sin(A+B/2)cos(A+B/2)と変換できるようにしとくといいのでしょうか? 教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の加法定理・和積公式の拡張って？
三角関数の加法定理 cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) を３変数に拡張すると、 cos(α+β+γ) = cos(α)cos(β)cos(γ) - sin(α)sin(β)cos(γ) - sin(α)cos(β)sin(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ) となりました。 三角関数の和積公式 sin(α) + sin(β) = 2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2} 三角関数の積和公式 sin(α)cos(β) = (1/2){sin(α+β)+sin(α-β)} も拡張して、 sin(α) + sin(β) + sin(γ) =（積の形） sin(α)sin(β)sin(γ) = (和の形) にできますでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 製品名：ＭＦＣ－935ＣＤＮ 相談内容：印刷品質チェックシートが改善しない 環境情報：OS：Windows10、接続方法：有線LAN
- 質問内容：印刷品質が悪く、チェックシートで改善しない 環境情報：パソコンOS：Windows10、接続方法：有線LAN
- 質問内容：ＭＦＣ－935ＣＤＮの印刷品質が改善しない 環境情報：OS：Windows10、接続方法：有線LAN
お礼
himaaaaさんの返事どうもありがとうございます。そうですね！、右辺だけに目がいってしまって、左辺の式をまったく注意しておりませんでした。公式に特にA,Bに制限がないのはひっくり返しても同じだったからなんですね。どうもお返事ありがとうございました。