2つの円に接する線の接点の座標の求め方

質問

２つの円に接する線の接点の座標が知りたいです。
円の半径、中心座標はわかります。
どういう式にすれば出るのでしょうか？

数学はまったくわからないので、簡単な式でできるだけお願いします。

回答No.4

motsuan

図形で考えるとちょっとらくかも。

（１）２つの円の中心を結ぶ直線ｑを考えます。

（２）求める接線はこの線に対して鏡写しのものがあるので
本質的には２つみつければよいことがわかると思います。
その二つの線をａ，ｂとします。

（３）ｑとａ，ｂの交点をA、Bとして、
接点と中心とA,Bがそれぞれつくる３角形を考えれば
その３角形が相似であることがわかります。

（４）（３）は円の間の距離は決まっているので
３角形の相似の関係から
交点A,Bがきまる（それぞれの中心からの距離が決まる）
ということを意味しています。

（５）ところで今考えている３角形は直角三角形なので
半径と中心からA、Bまでの距離が決まれば
３角形の形がきまります
（というか、接点が円の中心からどの方向にあるか決まります。）

定規とコンパスで作図できると思いますが、
数値的に求めたい場合は、比の計算と、
三角関数（逆関数）を計算する必要があります。
（関数電卓があれば簡単にできると思います。）

回答No.3

ymmasayan

No.1のymmasayanです。

＞　円同士は近くにあります。円と円にクロスした接線にはなりません。
（４本ってそういうことですか？）

そうです。接したり重なったりしていなければどんなに近くても４本出来てしまいます。

＞　円Ａから円Ｂは、45度くらいの斜め上にあると考えて、円の上の方を接線が通るとしたらできますか？

どういう位置関係にあっても同じです。No.2の方が回答されているように、結構複雑な計算が必要です。

お礼

あ、そうですね。４本だ。

でもやらなくてはいけないので、複雑でもがんばります！
ありがとうございます。

回答No.2

finalanswer

中心(a,b)、半径rの円の方程式および中心(c,d)、半径sの円の方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 …(1)
(x-c)^2+(y-d)^2 = s^2 …(2)
となりますね。（a,b,r,c,d,sはすべて実数）、
直線の式を y = px+q （p,qは実数、y軸と平行の場合は別に考える）として、
(1)と(2)の式に代入して変形すると
(p^2+1)x^2 + 2(q-b-a)x + a^2+(q-b)^2-r^2 = 0 …(3)
(p^2+1)x^2 + 2(q-d-c)x + c^2+(q-d)^2-s^2 = 0 …(4)
となって、(3)と(4)の2次方程式がともに重解を持つから、各々の判別式 = 0
とすれば、pとqの連立2次方程式となり、pとqの組が求められます。
※2つの円の位置により、pとqが0～4通りの組み合わせとなります。
求めたpとqを(3)または(4)に代入して、2次方程式の解を求めて、
直線の式に代入すれば、接点の座標が求められます。

補足

回答ありがとうございます。
2次方程式はいつか習ったような・・
ですが、解き方がわかりません・・

せっかく教えていただいたので勉強します。

回答No.1

ymmasayan

直接の答えでなくてごめんなさい。
簡単な式で説明するのは結構難しそうです。
２つのエンがかなり離れていれば、条件に合う接線は４本も引けてしまいます。
と言う事はなかなか厄介です。

補足

円同士は近くにあります。円と円にクロスした接線にはなりません。
（４本ってそういうことですか？）

円Ａから円Ｂは、45度くらいの斜め上にあると考えて、円の上の方を接線が通る
としたらできますか？