シグマの計算について

質問

n^2のシグマ公式についてお聞きしたいのですが、Σn^2=n(n+1)(2n+1) / 6 だとおもうのですが、Σn^2=Σ(n・n)と考えて、nのシグマ公式の２乗と考えて、{n(n+1) / 2}^2 だと公式の結果と違ってくるのはなぜなのでしょうか。

回答No.1

noname#6248 · ベストアンサー

Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか？

Σ(n^2)＝(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2＝(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…

お礼

＞Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか？
Σ(n^2)＝(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2＝(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…

はい、ごもっともです。言われてみると、ああそうか！という感じがします。なるほど、そういうことだったんですね。C_ranさんどうもありがとうございました！

回答No.4

kony0

まったくの蛇足ですが。。。
(Σn)^2 = Σn^3 がいえます。
んーっと、これは、たとえば、
{Σ(n+1)}^2 - (Σn)^2 = {Σ(n+1) + Σn} * {Σ(n+1) - Σn}
= {2*Σn + (n+1)} * (n+1)
= {n(n+1) + (n+1)} * (n+1) = (n+1)^3
という式を用いて、数学的帰納法で示せます。

s-wordさんの要求している回答とはまったく違った方向の話なので、回答に対する自信はなしとします。お茶濁しですみません。(^^;)

お礼

kony0さんこんにちは。Σn^3 =(Σn)^2 のおかげで、覚える公式が一つ減るのでうれしいです(^^)。Σn^2 の公式は覚えるのにだいぶ苦労しました。Σn^3 =(Σn)^2 の公式は前に帰納法のセクションでやった覚えがあるので、比較的すっきりと頭に入ってきました。どうもお返事ありがとうございました。

回答No.3

rei00

既に回答がある様に，『Σ(n^2) = (Σn)^2』とはなりません。

　具体的に簡単な例を見てみましょう。n = 2 までの和を考えてみると，

　Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
　(Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

　いかがですか，(Σn)^2 には Σ(n^2) の項以外に 1・2 や 2・1 の項が出てきます。これはどんなｎに対してもそうなります。したがって，Σ(n^2) ≠ (Σn)^2　です。

お礼

＞Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
　(Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

rei00さんこんにちは。具体的に値を代入してみると、両者の式の違いが鮮明になりますね。とてもわかりやすかったです。これからこういうところで間違えないように特に気をつけをようと思います。

回答No.2

uyama33

Σn^2=Σ(n・n)
これに対して
Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

積ではなく、和ならば
Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn)
となるのですが。

残念ですね。

お礼

＞Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

uyama33さんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn) の計算のように分割できるんじゃないかと思ったのですが、できないんですね。残念です。どうもありがとうございました。