変数分離が成功したからといってなぜ一般解といえるのでしょう?

質問

ここ一年間ぐらいずっと謎のままなのですが、いまさら大学の先生に聞くにも聞けず困っています。
話は偏微分方程式の解き方でよくででくる、変数分離についてです。多くの説明は、私の認識では、

変数分離の形(例えばA(x)B(y)C(z))の解を仮定して、偏微分方程式に代入して上手く各因子(上の例だとA,B,C)について常微分方程式がでてきたら、その解たちを掛け合わせたものはもとの偏微分方程式の解である。一般解はその積のすべてについて線形結合を取れば得られる。

といったものです。(あってますよねえ)
私がいつも悩んでいるのは最後の一文です。なぜ変数分離形の解の線形結合をとれば一般解になるのでしょうか?

数学記号の表記がしにくかったら、TeXの表記でかまいませんのでよろしくお願いします。

回答No.2

motsuan · ベストアンサー

想像です。
変数分離できるということは、
各変数ごとに方程式を保つような変換がある
（方程式と解に同時に変換を施すときどの解もそれを満たす）
ということだと思います。
したがって、変数分離できない解があるとすると
変数を独立に変換できない（※）のでそういう解はない
ということになって、変数分離により求められた解で
全てが尽くされることになるのではないでしょうか？

※はたとえば解ｆ（ｘ、ｙ）があると局所的に
ｙに対するｆの変化の様子がわかれば
xが決まるのでｘを変換するときにｙも変換しなければいけない
というようなことを示せばよいのかなと思います。

回答No.3

chukanshi

元の微分方程式を
D(x,y,z)f(x,y,z)=λf(x,y,z)
という固有方程式として考えます。
変数分離とは
D(x,y,z)=L(x)M(y)N(z)
f(x,y,z)=l(x)m(y)n(z)
として、
L(x)A(x)=α_lA_l(x)
M(y)B(y)=β_mB_m(y)
N(z)C(z)=γ_nC_n(z)
として解けることをいいます。
ここで、それぞれの固有方程式は、複数の固有値と
固有関数、一番上の式だと、α_lとA_l(x)を
持ちます。
これを元に戻すと、
L(x)M(y)N(z)A(x)B(y)C(z)
=Σ(l,m,n)α_lβ_mγ_nA_l(x)B_m(y)C_n(z)
（ただしΣ(l,m,n)は、l,m,nについての和を表す。）
となって、
D(x,y,z)f(x,y,z)=
Σ(l,m,n)α_lβ_mγ_nA_l(x)B_m(y)C_n(z)
となります。
「一般解はその積のすべてについての線形結合をとれば
得られる。」
というのを、
「一般解は、その固有関数の積のすべてについての
線形結合をとれば得られる。」
とすれば、理解頂けますか？

回答No.1

chukanshi

数学の微分方程式の解についての定理に
「解の一意性定理」というのがあります。

数学のちゃんとした微分方程式の本にはのっているはずです。

その定理によれば、微分方程式の一般解が一つ求まれば、
それが唯一の解であることを保証します。
だからどのような方法で、一般解を導いても、その導いた
一般解は、唯一の一般解であることが、保証されています。

n階微分方程式の一般解は、n個の未定定数を含み、
微分方程式を満たすものです。
これが、一つ見つかれば、それが唯一の解である。
だから、変数分離でもなんでも、都合のよい方法で
解けば良いのです。
経験的に変数分離が解けるということです。

大分昔に勉強したことなので、
「解の一意性定理」の厳密なことは、忘れてしまいましたが、
理解の方向性としては、これでいいと思っています。

お礼

ありがとうございます。
質問で強調してなかったのがいけなかったと思うのですが、私が言っているのは偏微分方程式についてです。お答えから察するに常微分方程式をイメージされているようなので・・・。