電球の抵抗値変化と消費電力・明るさの関係

質問

こんにちは。
私は来年大学受験を予定している者です。
物理の勉強をしていて
分からない点が出てきたので質問させてください。

起電力Vの電池に
抵抗値Rの抵抗器と
温度によって抵抗値rが変化する電球を
直列につないだとき、
「フィラメントの温度が次第に上昇するにつれて、電球の明るさはどうなるか。」
という問題があり、答えは「明るくなる」となっていました。

ところが、具体的に電球の抵抗値が初期値のx倍（x>1）になったときに
消費電力が初期値の何倍になるかを以下のような関数yで表してみると、

－－－－－－－－－－－－
　電球の抵抗：　　r　→　xr
　電球の電圧：　（r／r+R）V　→（xr／xr+R）V　
　回路の電流：　（1／r+R）V　→（1／xr+R）V
と変化するので
　電球の消費電力：　r｛V／（r+R）｝^2　→　xr{V／（xr+R）｝^2
となることから
電球の消費電力の変化倍率yは　y = x{(r+R)／(xr+R)}^2
－－－－－－－－－－－－

となり、
rとRの比の設定具合によっては
x>1においてyのグラフが「常に単調増加」にはならず、
計算上、電球がある一定値以上の抵抗値をもつようになると、
消費電力は減衰していくことになってしまいました。
これまで学習してきた中では、消費電力 ∝ 明るさ　が常だったのですが
今回の場合、どうして消費電力が減少しても「明るくなる」という答えになるのでしょうか。

・フィラメントのような発熱発光体の場合は、消費電力が減少してもエネルギー全体の中の
　 光放出の割合（←温度と関係？）が増えることによって結果的に明るくなる。
・P=IVが成り立たず、上記消費電力に誤りがある。

などと推測してみたのですが、
参考書・インターネット等では明確な答えを得ることができませんでした。
高校生レベルの内容を超えた説明であっても、なんとか理解できるよう努めますので
どなたかご助力よろしくお願いします。

回答No.5

imoriimori · ベストアンサー

先の方々のご回答で尽きているかもしれませんが、
ほんのちょっとだけ異なる私の解釈を蛇足として記します（違っているかも知れません）。

P=IVはいつも正しいです。
「フィラメントの温度が次第に上昇するにつれて、電球の明るさはどうなるか。」は設問の仕方に（おそらくは設問者も意識していない）落とし穴っぽい部分も感じますが、私の解釈は「フィラメント温度が上がるなら明るくなる、瞬時の消費電力がどうあれ」です。

「今回の場合、どうして消費電力が減少しても「明るくなる」という答えになるのでしょうか。」は勘違いかと。設問は「消費電力が減少しても」とはなっていないようです。

式は追っていませんが、きっと正しいでしょう。でもこの設問の場合、関係ないっぽいです。ｒが増大すれば電球の消費電力は低減するのはそのとおりです。でも設問は「温度が上昇するにつれ」です

普通の電源はＲ＜＜ｒです。スイッチを入れた瞬間からフィラメント温度が上がるにつれ消費電力は急激にへります。にもかかわらず明るくなるのは、消費電力は減りつつもそれまでの蓄熱があるから温度は下がらず少しの電力で温度は上がり続けるからです。やがてあるところで平衡します。

もう少し付け加えると、仮にＲが初期のｒより大きい変な条件としても、次のように答えは変わらないはずだと思います。
温度が上昇し続けて行って、ｒがＲを超えて、消費電力が低減していく状況に入るとします。でも仮にその状況に入ると温度は今度は低下します。で、きっとその状況には入らずに平衡点としてはｒ＝Ｒとなる温度状態で落ち着くんじゃないですか。結局のところ立てられた式の答えは、光は（電球消費電力も）漸増していってあるところで落ち着く。質問者様はｒがどんどん増えていったら、という考え方で論じていますが、ｒが勝手に平衡点を超えてどんどん増えていくというメカニズムはこのシステムの中にはありません。そして設問は「フィラメントの温度が次第に上昇するにつれて」と言う以上、この電球消費電力漸増中の状態についての問いである、ということになります。設問者がそう意識したかどうかは疑問ですが。

補足

私も、温度上昇が止まる要因が
熱の発生と抵抗増大、外部への熱放出による阻害との
平衡であるという考えはもっていたので、
imoriimoriさんのrが平衡に達するという
意見にはとても納得できました。

ちょっと言い訳がましいのですが、
No.1の方がおっしゃっている
「フィラメントの温度が上がり続けない」
ということや
imoriimoriさんのおっしゃっている
「rがどんどん勝手に増え続けはしない」
ということを理解しているということは、
もともとは質問の中に含めてあったのですが、
「教えて！goo」の質問の字数制限800字にひっかかってしまい、
投稿できなかったので削除しました。
混乱を招いてしまって申し訳ありませんでした。

それと、

>普通の電源はＲ＜＜ｒです。

とのことから、
imoriimoriさんの
「R≪r」の「R」とは電池の内部抵抗のことではないかと察するのですが、（違っていたらすみません。）
電池の内部抵抗ではなく、本問では
もう一つ抵抗器が直列接続されているので、
「R>r」には十分なり得ると思います。

ところで私が抱いていた疑問、
「例えばr>Rのときはスイッチを入れ始めた瞬間から
消費電力が下がることになるが、それでも明るくなるのか」
についてです。

>スイッチを入れた瞬間からフィラメント温度が上がるにつれ
>消費電力は急激にへります。にもかかわらず明るくなるのは、
>消費電力は減りつつもそれまでの蓄熱があるから温度は
>下がらず少しの電力で温度は上がり続けるからです。やがてあるところで平衡します。

とのことですが、
これは「明るさ」が消費電力ではなく、温度に
比例するものであると解釈してよろしいのでしょうか？
確かにそれなら、消費電力が逓減していても
温度は上がり続け、
　　エネルギー瞬間供給量：逓減
　　エネルギー放出絶対量：漸増
という状態から、
明るさを増しながら平衡に達するのは頷けます。
これまで中学・高校の基礎物理で学んできた
豆電球と電池をつないだ回路などでは、
P=IVであり、明るさ∝P　だったのですが、
それはあくまでもPが一定であることに依存するもの
であり、
本問のようにPが変化するという問題では
（その瞬間のP）∝明るさ　ではないと
いうことなのでしょうか・・・？
全体的にみれば　P∝明るさ　にはなるのだとは思いますが・・・。

なんとなく理解できてきた気がしますが、
他の回答者様の返事も待ちながら、
もう少し自分の中で整理してみようと思います。
今回はご回答ありがとうございました。

回答No.7

fjnobu

No2です。
「いま、フィラメントが室温の状態にあるとする。
起電力Vの電池に電球と抵抗値を一定に保った可変抵抗を直列につなぎ、スイッチを入れると
フィラメントに電流が流れてフィラメントの温度が次第に上昇する。それに伴い、」
（１）回路の電流の大きさはどうなるか。
（２）フィラメントの抵抗値の大きさはどうなるか。
「他方、（１）、（２）のような変化に伴って、」
（３）電球にかかる電圧の大きさはどうなるか。
（４）電球の明るさはどうなるか。
上記の問題なら、電球の明るさは「明るくなる」となります。
電力計算は、関係ありません。なぜならフィラメントの温度が上昇している過渡状態の変化を問う問題だからです。難しく電力変化の計算は無用の問題です。

お礼

わかりました。
あれから自分で電球の発光の仕組みについて調べてみて、
大体のことは理解できました。
発光の仕組みから考えてみると、
確かに皆さんがおっしゃる通り、
「温度が上昇している」と書いてある以上、
「明るくなる」と瞬間的に答えられますね。
温度上昇による熱放射が光の原因だとはっきりと知らなかったのが、
今回の私の錯覚の犯人のようです。
（前述したとおり、あやふやな知識だけは持ってましたが・・・。）

ちなみに、他サイトでも全く同じ問題に関して、
同様の質問がされているのを先日発見しました。
（回答が為されておらず、質問のみでしたが・・・。）
やはり、これまで電球の明るさを電力計算でのみ判断してきたために、錯覚してしまった人が私以外にもいたようです。

この問題は京都大学の昔の問題を改題したもののようなのですが、
京都大学も多くの学生が光の要因を理解していないということを知っていて、出題したのかもしれませんね。

今回は私の質問にご回答してくださって、
ありがとうございました。
最終的に納得のいく答えは自分で得たものの、
そこにたどり着くまでの過程において
fjnobuさんをはじめとした皆様に大きく助けられたと思っています。

5名の方全員にポイントを差し上げたいのですが、
2名の方までにしか差し上げられないので、
皆様からお返事がなくなったことを
確認したあとで（2～3日待ちます）、
検討して2名の方を選びたいと思います。

今回は本当にありがとうございました。

回答No.6

tttt23

先ず、

「フィラメントの温度が次第に上昇するにつれて、電球の明るさはどうなるか。」

の答えは「次第に明るくなる」です。これはフィラメントの温度と明るさの関係だけの問題で、抵抗や電流、電圧には関係しません。

しかし質問者さんの疑問はそこにあるのではないと思います。なぜ電流が減るのに明るくなるのか（温度が上昇するのか）だと思います。

この問題を理解するためには定常状態ではなく、過渡期の現象を考える必要が有ります。

定常状態の電球を考えれば、電流が大きければフィラメントの温度（明るさ）も高いと言えますが、過渡期にはそのようなことは言えません。

過渡期には電流が増えれば、温度の上昇率（℃/seec）が増えるだけです。

電源をオンにした直後は電流も最大で、温度の上昇率も最大です。その後フィラメントの抵抗が大きくなるにつれ、電流が減少し、温度の上昇率も減少します。ついには温度が最大値に達し、このとき消費電力は電球から放射される熱や光に消費され温度上昇はありません。これが定常状態です。

電源オンから定常状態までの間は、電流は減少し続けますが、温度は上昇し続けます。

回答No.4

ta-box55

ご相談は回路図でいいますと

→――「電池」――「負荷（電球：ｒ）」――「抵抗（抵抗器：Ｒ）」――→
になりますが、この場合、R＝０Ωの時に最大電流が流れますので、負荷（電球）では最大の仕事（電球が輝く）をします。

したがって、上記の回路で言う限り、Ｒ＝ｒの場合が最大電力というのは違うように思います。（ご相談者の内容には何かの条件が抜けているようにも思えますがどうでしょうか？）

現実には電線の抵抗（試験問題では普通無視しますが…）や電池の内部抵抗がありますので、話が違ってきます。（計算過程は省略しますが、そんなに難しい計算ではないので調べてみてください。）

そのときは、Ｒ（内部抵抗）＝ｒ（負荷）の時最大電力が得られるとあります。
（蛇足ですが、普通はＲ（負荷）＝ｒ（内部負荷）と表す方が多いように思います。）

そこで、ご質問ですが、
「フィラメントの温度が次第に上昇するにつれて、電球の明るさはどうなるか。」は
物質の表面温度が上がれば明るくなるのは当然だと思いますが…

「消費電力 ∝ 明るさ」の「消費電力」とは‘電球’の消費電力ではなくてはなりません。
「消費電力が減少しても「明るくなる」」場合は‘電池’の消費電力が減少しても‘電球’での‘消費電力’が相対的に多くなれば比較のレベルで言えばありうることです。

抵抗器などを無視して極端に言えば、フィラメントの抵抗値＝０Ωだったら電流は最大（無限大？）になるかといえば電池の‘内部抵抗’の所で電池のエネルギーすべてが消費されてしまいますし、逆にフィラメントの抵抗値を徐々に上げていくと‘ある値：Ｒ＝ｒ’で最大の輝きが得られます。

まさに、「抵抗器」の値を変化させて電球の輝きの変化を問う問題の答えはここにあります。

従って、
「フィラメントのような発熱発光体の場合は、消費電力が減少してもエネルギー全体の中の　 光放出の割合（←温度と関係？）が増えることによって結果的に明るくなる。
・P=IVが成り立たず、上記消費電力に誤りがある。」

は誤りです。

補足

この文章そのままではないのですが、
問題文は大体以下のようになっています。
-----------------------
「いま、フィラメントが室温の状態にあるとする。
起電力Vの電池に電球と抵抗値を一定に保った可変抵抗を直列につなぎ、スイッチを入れると
フィラメントに電流が流れてフィラメントの温度が次第に上昇する。それに伴い、」
（１）回路の電流の大きさはどうなるか。
（２）フィラメントの抵抗値の大きさはどうなるか。
「他方、（１）、（２）のような変化に伴って、」
（３）電球にかかる電圧の大きさはどうなるか。
（４）電球の明るさはどうなるか。
-----------------------
今回の質問はこの（４）に関してです。
（１）小さくなる
（２）大きくなる
（３）大きくなる　
というのは式で示すことができたのですが、
（４）のみ式で示すことができませんでした。
P=IVのIが減少、Vが増大なので、
それぞれがどれくらい変化するのかが分からないと
Pが増大か減少か判断できなかったので・・・。

>「フィラメントの温度が次第に上昇するにつれて、電
>球の明るさはどうなるか。」は
>物質の表面温度が上がれば明るくなるのは当然だと思
>いますが…

とのことですが、
感覚的に物質の表面温度が上がれば明るくなるというのはわかるのですが、
式などで示したり、理論的に説明することはできないでしょうか・・・？

消費電力に関しては、上記問題（３）の「電球にかかる電圧」と（１）「回路に流れる電流」の積を
用いているので、電池ではなく、電球の消費電力で計算できていると思います。

>従って、
>「フィラメントのような発熱発光体の場合は、消費電>力が減少してもエネルギー全体の中の　 光放出の割
>合（←温度と関係？）が増えることによって結果的
>に.明るくなる。
>・P=IVが成り立たず、上記消費電力に誤りがある。」
>は誤りです。

ご指摘ありがとうございました。
以前、固体物質の温度上昇の際に起こる熱放射により
光を放出すると読んだことがあったので
消費電力以外にも明るさにかかわる要素が
あるのかと思ったのですが・・・。
P=IVが成り立たないというのは自分でも
おかしいと思っていたので、すっきりしました。

回答No.3

fjnobu

ｒ＝Rのときに電池から最大電力が引き出されます。これ以上にｒが大きくなれば、電力が減少し、同時に温度が下がる。ｒが下がる。したがって暗くなる。暗くなるとｒは下がる。ということでｒの変化の領域と明るさの領域が限定されている筈です。その領域が確定していないと解答はでないと思います。
尚、P=IVはどんな場合でも成り立ちます。そして、Pが大きければ無条件に明るいと考えて間違いないでしょう。

補足

>r＝Rのときに電池から最大電力が引き出されます。
>これ以上にｒが大きくなれば、電力が減少し、
>同時に温度が下がる。ｒが下がる。したがって暗くなる。

とのことですが、
これはrが初期値から次第に変化し、
変化後の値xrがxr=Rとなったとき、
これ以上高温になると、
　→電力が下がる
　→温度が下がる
　→抵抗が下がる
　→電力が上がる
という一種の平衡状態になることで
これ以上、明るくも暗くもならないということなのでしょうか？
確かに、計算してみましたところ、
xr=Rのときにdy/dx =0 となりましたので、
変化がxr=Rで平衡に達するとしたら、
「明るくなる」という答えも納得できます。
しかし、
もし初期状態において
r>Rであった場合、どうなるのでしょうか・・・？
rは大きくなることはあっても
不導体ではないため、小さくなることはないと思うのですが・・・。
rの変化の領域、明るさの領域等はどんな
電球でも必然的に限定されると思うのですが、
特に問題中に指定されてはいませんでした。

>尚、P=IVはどんな場合でも成り立ちます。
>そして、Pが大きければ無条件に明るいと考えて間違
>いないでしょう。

ご指摘ありがとうございました。
やっぱりP=IVは常に成り立つんですね。

回答No.2

moby2002

電球の抵抗の初期値（常温での抵抗値）についての
条件はないのですか？
R<r0　のような

補足

初期値は具体的には示されていませんでした。
むしろ、R,rという値も
式で説明しやすいように私が勝手に設定したものであり、
実際の問題では、
-----------------------
「いま、フィラメントが室温の状態にあるとする。
起電力Vの電池に電球と抵抗値を一定に保った可変抵抗を直列につなぎ、スイッチを入れると
フィラメントに電流が流れてフィラメントの温度が次第に上昇する。それに伴い、」
（１）回路の電流の大きさはどうなるか。
（２）フィラメントの抵抗値の大きさはどうなるか。
（３）電球にかかる電圧の大きさはどうなるか。
（４）電球の明るさはどうなるか。
-----------------------
というような感じになっています。
可変抵抗の抵抗は一定に保たれているので、
それをRとしました。
この（４）が今回質問している問題です。

回答No.1

tttt23

別にフィラメントの抵抗がいつまでも大きくなり続けるわけではないでしょ。

補足

もちろん、温度が上がり続けるわけではないので、
抵抗が大きくなり続けるわけがないのは理解しています。
市販の白熱電球では2000℃超くらいで温度上昇が止まるらしいですね。

私の疑問についてなのですが、
例えば上記設問において、
R：r＝1：2　としたとき、
y=9x／(2x+1)^2　となり、
x=1/2　で極大値をとります。
ということは、
yのグラフはx>1においては常に単調減少となり、
抵抗が初期値からわずかにでも
大きくなると消費電力が下がってしまいます。
このような場合でも電球が明るくなるのかを疑問に思いました。

このような具体例も質問中に盛り込みたかったのですが、
800字の字数制限に阻まれてしまいまして・・・。
誤解を招いたのであれば申し訳ありませんでした。