- 締切済み
パラメトリック曲面
曲面のベクトル表示 ｒ(u,v)＝sinucosvi+sinusinvj+cosuk, 2π≧u≧0, 4≧v≧0 において、v=一定のときr(u,v)は経線の円の軌跡を描くということですが、具体的にどのように考えたら良いでしょうか。
- aboutdigitalID
- お礼率51% (16/31)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
NobNOVA さん： > 確か、i=j=kとなるときが球面で、 ．．． 質問では式が見にくい上に，i,j,k の意味が書かれていませんが， i,j,k がベクトルでないと，曲面のベクトル表示になりませんね． ベクトルとして i=j=k では，一方向になってしまいます． NobNOVA さんの文章は |i| = |j| = |k| となるとき， と言う意味でしょうか？ 曲面のベクトル表示というなら，i,j,k はそれぞれ x,y,z 方向の 単位ベクトルというのが通常の使い方と思います．
- NobNOVA
- ベストアンサー率34% (8/23)
どうでもいいけど、球面じゃなくて楕円面になるのでは？ 確か、i=j=kとなるときが球面で、 質問に書かれてあるのは楕円面だと思うのですが……
お礼
ご回答有難うございました。
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
式の書き方をもうちょっと明確にしないと見にくいですね． ｒ(u,v)＝(sin u) (cos v) i + (sin u) (sin v) j + (cos u) k, は，半径１の球面を極角 u，方位角 v の極座標で表示したものです． でも，普通は π≧u≧0, 2π≧v≧0 ですがね． 以上のことを考えればほとんど自明でしょう． あるいは，x,y 軸を z 軸の周りに適当な角度回転して X,Y 軸にすれば r = (sin u) i' + (cos u) k になりますよ． i' は X 軸方向の単位ベクトルです．
お礼
ご回答有難うございました。
関連するQ&A
- 曲面の方程式を求め方
x=asin u cos v y=bsin u sin v z=ccos u とする。ただし、a,b,cは正の定数で、 0≦u≦π 0≦v≦2π とする。 上記のように表される曲面の方程式 の求め方が分かりません。 分かる方教えて下さい。 陰関数表示でお願いします。 できれば、色んな表示の仕方も教えてもらえると 勉強になります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- パラメトリック曲面を数式で表現したい
最近仕事の合間につい考えてしまうのですが、 A:x=10*cos(t),y=10*sin(t),0≦t≦2pi(パイ)で2Dの円が書けますよね。 次にB:x=(10+3*cos(4*t))*cos(t),y=(10+3*cos(4*t))*sin(t),z=3*sin(4*t)、ではAの周囲を回転するような曲線がかけますよね。 ここでAに媒介変数uを追加して、 A':x=(10+cos(u))*cos(t),y=(10+cos(u))*sin(t),sin(u), とすればドーナツ状の3D曲面がかけますよね。 同様にBも断面が円型になるような曲面の関数にしたいのですが、 x=(10+3*cos(4*t)+cos(u))*cos(t),y=(10+3*cos(4*t)+cos(u))*sin(t),z=3*sin(4*t)+sin(u)、ではxy面に垂直にきれば断面がB上の1点を中心とする同心円になりますが、Bの接線方向（？）と垂直に切断した場合は楕円になってしまいます。言葉足らずで申し訳ありませんが、とにかく、同じ太さの筒状の曲面にしたいのです。どのように数式を書けばよいのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 軌跡の問題で
軌跡を求める問題で 点P(x、y)が原点を中心とする 半径１の円周上を動くとき、 点R(x(x+y)/2、y(x+y)/2）は どんな図形上を動くか という問題で 私は まず円の式はx^2＋y^2＝1で R(u、v)とおいて 円の式とu＝x(x+y)/2、v＝y(x+y)/2から 2(u+v)＝x^2＋y^2+2xy 2xy＝2(u+v)-1・・・(1) それとは別に 2x^2＝1+2(u-v)・・・(2) 2y^2＝1+2(v-u)・・・(3) が分かり (2)×(3)＝(1)^2から・・・・(4) uとvの関係が分かり Rの軌跡は円 2(x^2+y^2)-(x+y)＝0 と言うことがわかりました しかし、答えを見ると (1)(2)(3)(4)から逆に このようなu、vについては －1≦2(u+v)≦1 となるから、(1)(2)(3)を満たすx、yの実数値が 存在する。 の一文が追加されています、この意味とどのような 求め方でこの不等式が出てきたのわかりません どなたかわかる方教えて頂けないでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析の問題でわからないので質問です。
ベクトル解析の問題でわからないので質問です。 http://www.mech.tohoku.ac.jp/examination/grad/pdf/Problem2009.pdf の数学Aの4.の問題がわかりません。 (1)は、ｒ＝r1-r2=0として、 u=1/2 ？ だけ出してみたのですが、ここから図示するというのは 極座標表示（ここでは、u,vを使って）のような図示なのか、x,y,z座標を用いた図示なのかすら わからない状態です。 (2) n=r1×r2として、 n=(u(2u-1)sin(v),u(1-2u)cos(v),0) 単位法線ベクトルはu(2u-1)でわって、 n=(sin(v),cos(v),0) ？ （3） ｒ＝r1-r2=(2u-1)cos(v)i+(1-2u)sin(v)jとして、 S＝∫r・nds r・n=0? となってしまうので、考え方自体が違うのだと思うのですが・・・・・・ ∂r/∂u=(2cos(v),-2sin(v),0) ∂r/∂v=(-(2u-1)sin(v),(1-2u)cos(v),0) ∂r/∂u×∂r/∂v＝（0,0,2(1-2u)） を使うのか・・・・・・ すみませんが、やり方など教えてください。 出来れば、答えも載せていただけると答え合わせが出来るのでありがたいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 曲面論・第二基本形式について
『曲線と曲面 -微分幾何的アプローチ-』（梅原雅顕・山田光太郎 共著）を教科書に、曲面論の第二基本形式について学習していたのですが、つまずいてしまった箇所があるので質問させて下さい。 この本における第二基本形式IIは、外微分を用いて次のように定義されています。 ---------------------------------------------- 曲面の助変数表示p(u,v)が与えられた時、 II :＝ -dp・dν を第二基本形式という。 ※ただしν(u,v)は、点p(u,v)での単位法線ベクトルを表し、 ν(u,v) := ((∂p/∂u)×(∂p/∂ｖ)) / |(∂p/∂u)×(∂p/∂ｖ)| と定義される ---------------------------------------------- この定義の後の文章を読み進めていくと、 「第二基本形式は、（ヤコビ行列式が）正の座標変換で不変であり、（ヤコビ行列式が）負の座標変換で符号が逆になる」 と書かれていました。この文章が個人的に少しひっかかっています。 このテキストでは、第一基本形式の内容を扱う際に、 「外微分は、座標変換で不変である」 ということが示されていました。 もしそうであれば、第二基本形式の定義式の中にあるdp、dνはそれぞれ座標変換で不変であり 「第二基本形式は、（ヤコビ行列式が）正の座標変換でも負の座標変換でも不変である」 となるのではないでしょうか。 同分野の参考書を何冊か少し読んでみたのですが、やはり第二基本形式は"正の座標変換"で不変らしく、おそらく自分の考え方に何らかの間違いがあると思われるのですが、よろしければ教えて頂けないでしょうか？ ※上記文章で情報が不足でしたら是非お伝え下さい。補足させて頂きます。
- 締切済み
- 数学・算数
- トーラスのガウス写像の問題
トーラスのガウス写像はトーラス上のx(u,v)を球面のパラメーター表示の-x(u,v) に対応させます。この事を確かめ、ちょうど同じ(u,v)で表される理由を考えて ください。 という問題で、テキストの解答には トーラスのxu(uで偏微分)、xv(vで偏微分)と球面のxu,xvはそれぞれ長さは違い ますが、平行で、したがって、同じ接平面を定め、同じ単位法ベクトルを定めま す。球面ではガウス写像は-1倍です。 と書かれていますが、テキストを見ながら自分なりに解答してみました。間違い があればご指摘、訂正をお願いします。 ＜単位球面＞ Ｘ(u,v)= cosu・cosv cosu・sinv sinu Ｘu(u,v)= -sinu・cosv -sinu・sinv cosu Xv(u,v)= -cosu・sinv cosu・cosv 0 ＜トーラス＞ xz平面上のz軸と交わらない円が生成する、z軸に関する回転軸をトーラスとい い ます。そのような円は、例えば、0＜r＜Rに対し、パラメーター表示 R+rcost rsint で与えられます。 したがって、トーラスのパラメーター表示は Ｘ(u,v)= (R+rcosu)cosv (R+rcosu)sinv rsinu となります。―i) u曲線はz軸を含む平面上の半径rの円です。 v曲線は水平面z=sinuに含まれる円です。 Ｘu(u,v)= -rsinu・cosv -rsinu・sinv rcosu Xv(u,v)= -(R+rcosu)sinv (R+rcosu)cosv 0 ですから、これらは直交し、1次独立で、i)は曲面のパラメーター表示を与えま す。 以上より、トーラスのＸu,Xvと球面のＸu,Ｘvはそれぞれ長さは違うが、平行で あることがわかる。 したがって、、同じ接平面を定める。 （定理 接ベクトル全体ＴＸ0SはＸu(u0,v0),Xv(u0,v0)を基底とする2次元線型 空間（平面）である。） （定義 接ベクトル全体の作る線型空間ＴX0SをＸ0におけるＳの接平面と定め る。）より また、単位法ベクトルの公式 Ｎ(u,v)=Xu(u,v)×Xv(u,v)|/||Xu(u,v)×Xv(u,v)||より 球面の単位法ベクトルは、 Ｎ(u,v)=(-cos^2u・cosv+cos^2u・cosv-sinu・cosu・cosv^2-sinu・cosu・sin^2v) /1・cosu =(-sinu・cosu)/cosu =-sinu トーラスの単位法ベクトルは Ｎ(u,v)={-rcosu(R+rcosu)sinv+rcosu(R+rcosu)sinv-rsinu(R+rcosu)cos^2v-rsinu (R+rcosu)sin^2v} ={-rsinu(R+rcosu)} =-sinu よって同じ単位法ベクトルを定める。 ガウス写像はＸ(u,v)をN(u,v)に対応させる写像で、Ｘ(u,v)の変化ξとＮ(u,v) の変化dN(ξ)が逆方向の時、ξ方向で、曲面が上昇するのだから、上昇分を測 る量として、 第二基本変形を φ=-ξ・dN(ξ)で定める。 という定義から、トーラスのガウス写像はトーラス上のＸ(u,v)を球面のパラメ ータ表示の-Ｘ(u,v)に対応させる事がわかる
- 締切済み
- 数学・算数
- 空間ベクトルと線形独立の条件？
ベクトルの成分の条件がわからないので質問します。 uべクトルを→uと書きます。また内積の記号は・を使います。お願いします。 xyz空間の点Pを通り、2つの空間ベクトル→u,→vに直交する直線を求めよ。 解答、P(a_1,a_2,a_3)、→u(u_1,u_2,u_3)、→v(v_1,v_2,v_3)としましょう。求める直線の方向ベクトル、つまり直線と同じ向きを向いたベクトルの1つを、 →w(w_1,w_2,w_3)とおきます。すると→wと→u、→vと直交するので、 →w・→u=→w・→v=0が成り立ちます。これを成分で表すと、 w_1u_1+w_2u_2+w_3u_3=0・・・(1) w_1v_1+w_2v_2+w_3v_3=0・・・(2)ここからがわからないところです。 いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。これは平面ベクトルで →u(u_1,u_2)、→v(v_1,v_2)が線形独立であるための必要十分条件なので、空間ベクトルでつかっていいとは思えません。本では、すると(1)*v_2-(2)*u_2を計算して、w_1=-(u_3v_2-u2v_3)*w_3/(u_1v_2-u_2v_1)。同様に(1)*v_1-(2)*u_1より w_2=-(u_3v_1-u1v_3)*w_3/(u_2v_1-u_1v_2)がえられ、そこで、w_3=u_1v_2-u_2v_1とすると、 →w=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)と方向ベクトルを求めています。 いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。なぜこのような条件がつけれるのか説明してください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 螺旋曲面の面積について
螺旋曲面の面積について 高3です。 質問は以下の螺旋曲面の問題についてです。 定円の半径がr、高さが1の直円柱Ｔのひとつの母線の両端点をＡ，Ｂとする。ＡとＢを結び、Ｔ上を一周する曲線の中で、長さがもっとも短いものをＣとする。 点ＰがＣ上を動くとき、ＰからＴの中心軸におろした垂線ＰＱが通過して出来る曲面をＲとする。 このときＲの面積Ｓを求めよ。 Ｐ、ＱをＰ（rcosθ、rsinθ、θ/2Π）、Ｑ（0、0、θ/2Π）としてＲ上の点ＲをP,Qをt:1-tに分ける点としてベクトルｒ=（rtcosθ、rtsinθ、θ/2Π）とおいて、外積dr/dt×dr/dθを微小面積として0≦θ≦2Π、0≦t≦1で積分すると答えは｛rSQRT（４Π?r?+1)}/2+{log(2Πr+SQRT(4Π?r?+1)}/4Πになりました。（すみません根号の打ち方がわからなかったのでSQRT()で代用しています.） 質問したいのは次の点です。 ・この答えであっているか ・他に解法はないか 読みにくいですがお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 曲線と曲面のちがい
曲線と曲面のちがいを教えてください。 具体的には z = f(x,y) と z(t) = f(x(t), y(t)) の違いとでもいいましょうか。 z = f(x,y) ・・・・・・・(1) は普通曲面を表すと思うのですが x,y をパラメータ t で表したとき z(t) = f(x(t), y(t)) ・・・・・・・(2) もしくは r↑(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) ・・・・・・・(3) は本当に曲線しか表していないのですか？ (1)でも(2)でも空間座標の1点を表すということでは変わりないと思うのですが。 ベクトル解析の本ではパラメータ s を積分で t と対応させていますが、これは初めから(3)が空間曲線を表していることを前提にしています。(2)、または(3)は曲面にはなり得ないといういことがよくわからないのです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答有難うございました。