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自然数の定義

どうも、こんにちは。 私は今数論の本を書いているのですが、 その中で、自然数の定義についてどのように 書けばいいのか分からず困っています。 色々と数論の本は見てみましたが、 どれも「物を数える際に使用する数」とか、 そんな大まかなことしか書いてありません。 私が欲しいのは、自然数の厳密な定義です。 どなたかご存知でしょうか。 また、貴方だったら自然数をどのように定義しますか。 左にもある通り、暇だったらでいいので 回答くださいませ(^-^;

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  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.2

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225 で似たような話が出たばかりです。 ●ひとつのやり方は 空集合をφで表すことにすると 無限公理:「φ∈x、n∈x→ (n∪{n}) ∈x、を満たす無限集合xが存在する。」 を前提として、 0=φ 1=0∪{0} = {0} 2=1∪{1} = {0,1} 3=2∪{2} = {0,1,2}  : だけを含む無限集合ωの存在を示し、さらに数学的帰納法が使えることを証明する。 ●別のやり方としては、ペアノの公理を公理系として最初から採用してしまう。 専ら自然数の性質を論じたければ、後者の方が手っ取り早いでしょう。

NobNOVA
質問者

お礼

前者は下の方と一緒ですね。 後者については、今まで考えたことも無かったですf^^; まあ、自然数の定義の仕方としては、 こういう感じがいいんでしょうね。 ……でも、下の方のリンク先にもあった通り、 自然数の定義の仕方は一つだけじゃないんで、 もっと自分なりの定義の仕方を考えてみます。 どうもありがとうございました。<お二方

その他の回答 (1)

noname#5277
noname#5277
回答No.1

このようなページを発見しましたので参考にしてください。

参考URL:
http://h.iwa.hokkyodai.ac.jp/mathedu/subjects/nq/summa/5/2/2/index_j.html
NobNOVA
質問者

お礼

見てみました。 で、こういった定義の仕方は、 実は位相の時間で先生が説明をしていました。 実を言うと、私はこの定義の仕方はあまり好きではないんですよ。 例えば、空集合を一つの集合として、 その個数を1としているわけじゃないですか。 空集合ってのは元が無い集合なのに、 何で無いものがあるんだってことを考えると 次第に混乱してきてしまって…… (いや、頭では分かるんですけどね。) だから、正直これとは別の定義をしたいと思うのですが。 スミマセン、このことは最初に書いておくべきでしたね。

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