量子力学 井戸型ポテンシャルの最低エネルギーについて

質問

現在，院試の勉強をしている者です．

"0<x<aの範囲でポテンシャルが0で他の範囲では∞"
というような無限の井戸型ポテンシャルの最低エネルギーと，
"0<x<aの範囲でポテンシャルが0で他の範囲ではV"
というような有限の時の最低エネルギーを比べると，後者の最低エネルギーの方が低くなることを簡潔に説明せよ，という問題で困っています．

有限のときにはx<0,a<xのような範囲でも粒子の存在する確立があるのでその辺りのことと関係があるのではないかなと思ってはいるのですが，残念ながら明確な答えがまったくわかりません．
もしよろしければご教授お願いいたします．

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

不確定性原理です。
仰るように、有限のポテンシャル壁の場合は
波動関数が染み出します。つまり、存在確率が
それだけ広がります。ということは、不確定性原理
ΔxΔp≧h/4πにより、Δｐが無限壁の場合より小さくなります。無限壁の場合、波動関数は全く染み出さないからΔｘも有限壁より小さいのです。

お礼

なるほど、不確定性原理を使えばよかったのですね。
付け焼刃に勉強をしているのでは、やはり大事な部分が抜けてしまいますね。物理系の学科ではないのですが院試に出るようなので慌てて勉強してまして…。

とても参考になりました。
本当にありがとうございます。
院試受験仲間にも教えてあげようと思います。

回答No.2

ojisan7

定性的にsky fireさんの回答で良いと思います。波動関数が染み出している分、エネルギーも低くなるのです。実際に計算してみると、ポテンシャルVが無限のときの最低エネルギーは、
E≒π^2h^2/2ma^2
ポテンシャルVが有限の時の最低エネルギーは、
E＝h^2/(2ma^2+h^2/V)
となり、後者の方が低いことが確認できます。（ただし、hはh barです。）

お礼

実際に自分でも計算し、確かめてみようと思います。
本当にありがとうございます。