環境熱容量が有限なとき

質問

熱容量がCで温度がTのものをT’にするまでに準静的機関で取り出せる仕事量の最大値を求めたいのですが、
環境熱容量が有限のときにはどうしたらよいのでしょうか？
環境熱容量無限で考えたときは　T＜T'のときもT＞T’のときも

W＝C（（T-T’）-T’log（T/T'））

となったのですが、これも正しいかどうか　自身がありません。

回答No.2

siegmund

> CがTの関数である場合を環境熱容量有限と考えることはできるでしょうか？
> 的外れだったらごめんなさい。

的はずれなんかじゃなくて，good question ですよ．
そもそも，熱容量 C は一般的には温度に依存しますから．
これなら，出発点が
(1')　　d'Q1 = -C1(T) dT1
(2')　　d'Q2 = C2(T) dT2
(3')　　d'Q1 : d'Q2 : d'W = T1 : T2 : (T1-T2)
ということになりますね．

あとは具体的な C1(T)，C2(T) の関数形を与えないと
(4')　　C1(T) dT1/T1 = C2(T) dT2/T2
より先には進めません．

お礼

ありがとうございます。
今後もお世話になることがあるかもしれませんがそのときはよろしくお願いします。

回答No.1

siegmund

> 環境熱容量無限で考えたときは　T＜T'のときもT＞T’のときも
>
> W＝C（（T-T’）-T’log（T/T'））

環境の温度が T' だということですね．
それなら，ＯＫです．

> 環境熱容量が有限のときにはどうしたらよいのでしょうか？

環境熱容量が有限というよりは，
熱容量が C1 と C2 のものの間で熱機関を運転する，
という方がいいでしょう．
両方が同じ温度 Tf になるまで熱機関が動作します．

　　┌─────┐
　　│　　　　　│　熱容量 C1
　　│　高　温　│　はじめの温度 T1(0)
　　│　　　　　│　途中の温度　 T1
　　└─────┘
　　　　　｜
　　　　　｜　d'Q1
　　　　　∨
　　┌─────┐
　　│熱　｜　　│
　　│機　｜――│―＞ d'W
　　│関　｜　　│
　　└─────┘
　　　　　｜
　　　　　｜　d'Q2
　　　　　∨
　　┌─────┐
　　│　　　　　│　熱容量 C2
　　│　低　温　│　はじめの温度 T2(0)
　　│　　　　　│　途中の温度　 T2
　　└─────┘

レポート問題みたいなので，ヒントだけにします．

環境熱容量無限の話ができたのでしたらおわかりと思いますが，
「熱源」の温度が変化していき，それに伴ってカルノー効率も変化するところに
注意が必要です．

(1)　　d'Q1 = -C1 dT1
(2)　　d'Q2 = C2 dT2
(3)　　d'Q1 : d'Q2 : d'W = T1 : T2 : (T1-T2)

が出発点．

(4)　　C1 dT1/T1 = C2 dT2/T2
　　　　⇒　T1^(C1) T2^(C2) = const = {T1(0)}^(C1) {T2(0)}^(C2)
がすぐわかりますから，
最終温度の Tf もわかりますし，T2 を T1 で表すこともできます．
あとは，d'W を T1 だけで表し，T1(0) から Tf まで積分すれば
W が求められます．

積分するのが正道ですが，次のような方法もあります．
高温側が失った熱量は C1{T1(0) - Tf}
これが低温側の得た熱量 C2{Tf - T2(0)} と仕事 W の和になっているはずです．
簡単なのはこっちですかね．

なお，得られた結果で，例えば C1/C2→∞とすると
環境熱容量無限の結果が再現されます．

補足

御回答ありがとうございます。
上の方法でWを求めながら思ったのですが、

CがTの関数である場合を環境熱容量有限と考えることはできるでしょうか？

的外れだったらごめんなさい。