- 締切済み
微積分のｄｘってなに？
学校で今微積分を習っているのですが、たびたび出てくるｄｘだのｄｔだのというこの記号の意味が分かりません。 数IIの時は∫などと同じようにただ微積分するんだよという意味で書いてあるかと思ったのですが、IIIになってから結構普通に掛け算やら割り算やらしているので、実は数字と同じような扱いもできるということがわかったのですが、そうしたらなんなのかよくわからなくなってしまいました。教科書にも書いてありませんでしたので、こういう場合いろいろ難しいことが多くあえて省略しているのだということはeのときでも分かっていますができれば教えてください。
- shunti
- お礼率32% (123/381)
- 数学・算数
- 回答数7
- ありがとう数2
- みんなの回答 （7）
- 専門家の回答
みんなの回答
- Ishiwara
- ベストアンサー率24% (462/1914)
例えば、xは「これまで働いてきた時間」ｙは「これまでに得た収入」とします。 この人が1秒働いて2円の給料をもらったとき、dx=1秒、dy=2円のように書きます。 しかし、1０年働いて５千万円もらったときは、Δx=1０年、Δy=５千万円のように書いて d と区別します。 dを使う意味は、この「秒給」は今後一定である保証がない（時々刻々変わるかもしれない）ということです。今後「秒給」が変わらないのであれば、Δでもdでもよく、微分という解析法を使う必要もない、ということになります。
- mangou-kutta
- ベストアンサー率33% (42/124)
おそらく質問者は、 dy/dxの定義や 区分求積法の ∫[x=0,x=1]f(x)dｘ ＝lim (n→∞)Σ[k=1,k=n]f(xk)・(1/n) において∫とΣ、f(x)とf(xk)、dｘと(1/n) が対応していることを十分に把握しているのだと思います。 その上で、微分方程式 ∫f(x)(dｘ/dt)dt＝∫g(y)(dy/dt)dt などの解法で あたかもdtを約分したように機械的に ∫f(x)dｘ＝∫g(y)dy と変形をして解いていることに対する抵抗感などがあるのだろうと思います。 この場合、合成関数の微分 dy/dt＝dy/dx・dx/dt を確認し これを使っているのだという根拠もしっかり確認しておくほうが良いと思います。 それさえ一度確認すれば 後は機械的に使っても抵抗はないでしょう。 確認なしに「そういう風にできる」といって使うのはＮＧ 逆に言うとdy/dxの表記は、演算のやりやすさを見越した上で考えたものといえます。
- take008
- ベストアンサー率46% (58/126)
高校数学の範囲では ｄｘ や ｄｔ が単独で現れることはありません。 ｄｙ/ｄｘ ｙをｘで微分したもの ｄｙ/ｄｔ ｙをｔで微分したもの を意味します。 ｙ' と書くと何で微分したものかわからないことがありますが，このように書けば問題ありません。 ∫□ｄｘ ｘで積分したもの ∫□ｄｔ ｔで積分したもの ですね。 > 結構普通に掛け算やら割り算やらしている 合成関数の微分，逆関数の微分，置換積分 ｄｙ/ｄｘ＝ｄｙ/ｄｔ ｄｔ/ｄｘ ｄｙ/ｄｘ＝１／ｄｘ/ｄｔ ∫□ｄｘ＝∫□ｄｘ/ｄｔ ｄｔ のことですね。 これは，分数の計算をしているわけではありません。 まるで分数の計算のように見える にすぎません。 言い換えると，まるで分数のように扱える，この記法を考えた人が偉かったということです。
- freedom560
- ベストアンサー率46% (80/173)
高校までの範囲で微積分を行うのなら、微分はNo.3さんが書いてある通り limΔｙ／Δｘ = dy/dx で、考えるのが一番わかりやすいと思います。これで dy/dx=～ という微分の式は、中学の一次関数で習った「グラフの傾き＝変化の割合＝ｙの変化量／ｘの変化量」という式と形が同じなので、x=kという点で見たときに、グラフで接線になることが直感的にわかるのではないでしょうか。 で、積分記号の∫は数列で習ったΣと同じような感覚で考えるのがわかりやすいと思います。つまり、 ∫(x→0～x→1)x dx は (1)xにdxをかける（単なる掛け算です） (2)x dxで微少面積（dxはほぼ０なので面積と言ってもほとんど線なのですが）が求まるので、それをx→0～x→1の区間において足し合わせる と考えるとわかりやすいと思います。
- Trick--o--
- ベストアンサー率20% (413/2034)
ｙの変化量／ｘの変化量 ＝ Δｙ／Δｘ このとき、変化量を十分小さくすることで、微分値になる limΔｙ／Δｘ = dy/dx こんなかんじだったかと。 日本語で言うと……微小な変化量？
- pyon1956
- ベストアンサー率35% (484/1350)
高校数学までのdxというのはあまり深い意味を持たせてありません。 というのもこのあたり厳密になったのは19～20世紀の数学によって、ということなのですが、高校数学までの範囲は集合やベクトル・行列などを除けば18世紀やそれ以前の数学です。 19世紀になって初めてコーシーが微分を厳密に定義し、さらにワイエルシュトラスによってεーδ論法が完成します。その後微分方程式や多変数での全微分などにおいて独立したdxなどの用法も厳密化されますが、20世紀初めにルベーグが測度（measure）を定義して、積分におけるdxというものの正確な意味も厳密化されます。 さらにその後ロビンソンが超準解析を創始し、あらためてライプニッツ以来の無限小も復活します。（厳密に） で、実はこれら各分野でdxの扱いも微妙に違います。 現代では基本はルベーグ積分・ルベーグ測度で考えるのが普通ですが。 また物理の場合、dxというのはずばりxの微少変化なので、厳密さは失われてます。ここを厳密にすると超準解析になると思います。 このあたり厳密に学びたいのであれば「ルベーグ積分」「測度」「超準解析」「実解析」などをちゃんと学ぶ必要がありますがいずれも大学の数学です。とりあえず http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/ http://www.f-denshi.com/index.html http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/calcmulti.html http://www.amazon.co.jp/gp/richpub/listmania/fullview/1JAT77OEJF1T1/249-7932277-6597123?%5Fencoding=UTF8 辺りを参考に。
- miniture_min
- ベストアンサー率24% (187/749)
多分とても小さな間隔や面積の事を意味しているのだと思います。 例えば∫dxと書いてあると、とても小さなdxという間隔で積分する事を意味し、∫dSと書いてあると、とても小さなdSという面積で積分する事を意味しています。 つまり、数学IIIまでならΔxみたいな物だと思えば大体はあってるはずです。
関連するQ&A
- 積分がわかりません
いくつかわからないので教えていただきたいです。∫は省略します。 まずlog(1+√x)dxですが、t=√xと置換してdx=2tdtとなり 2tlog(1+t)dtとなります。しかしここからのやり方がわかりません。 次にcos^3xsin^2xdxですが、部分積分を使ってやってみたのですがどうもうまくいきません・・・しかし部分積分を使うのは間違いなさそうなんです。 次に(1/(x^3-x))dxですが、この式は1/x(1-x)(1+x)に変形できます。 分母が２つの掛け算ならば部分分数にできるのですが３つの掛け算なのでどうしたらいいのかわかりません。 次に(x/(x^3+1))dxですが、この式をx/(x+1)(x^2-x+1)と変形したあとのやり方がわかりません。 最後に、これが一番聞きたいことなんですが (1/cosx)dxの積分です。 分子分母にcosxを掛けてcosx/cos^2xとします。 sinx=tとおくと、dx=dt/cosxとなり、最初の式はdt/(1-t^2)になります。 部分分数にして1/2∫(1/(1+t)+1/(1-t))dtになります。 よって1/2(log|1+t|-log|1-t|)=1/2log|(1+sinx)/(1-sinx)|になりますよね？？ でも、解答にはlog|(1+sinx)/cosx|って書いてあるんです。 どこが間違ってるのかわかりません。 以上長いですが教えていただけたら幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫[0→π/4]log(tanx)dxの積分
tanx=e^tとおいて dx/cos²x=e^tdt dx=(e^tcos²x)dt ={e^t/(1+tan²x)}dt =e^t/{1+e^(2t)}dt log(tanx)=log(e^t)=t として 積分範囲を-∞～0に変え ∫[-∞→0]te^t/{1+e^(2t)}dt としたのですがここからいきづまりました どのようにやるといいでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 置換積分の途中計算がわかりません
ー教科書－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (e^x)+1=tとおいて置換積分すると ∫((e^x)+1)' log((e^x)+1)dx =∫(logt)(dt/dx)dx ー－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ とありましたが、 (e^x)+1=tを全微分すると (e^x)dx=dtより dx=(1/(t-1))dtとなるため ー－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ∫((e^x)+1)' log((e^x)+1)dx =∫t' (logt)(1/(t-1))dt =∫(logt)(1/(t-1))dt ー－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ではないのですか？ どこかで私の計算が間違っているのだと思われます。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分する問題を解いて下さい
以下の式を積分してみて下さい。どうも教科書を読んでも理解出来なくて・・・。 ∫（１／８）４Ｘ＋ｃｏｓ２Ｘ＋（３／８）ｄｘ １／８は８分の１の事です。３／８も同様の意味です。 Ｘは掛け算では無くて文字のエックスです。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分 dx について
積分のdxについて ・不定積分・・・・・微分の逆操作 ・定積分・・・・・・総和Σの極限 であると理解しています。 関数F(x)をf(x)の原始関数とすると、F(x)の微分は、 d/dxF(x)＝f(x)です。 不定積分の場合は、微分の逆操作なので、 d/dxF(x)＝f(x)の両辺を積分すれば、∫d/dxF(x)＝∫f(x)となります。 よって、不定積分は∫f(x)＝F(x)+Cではダメなのでしょうか？ わざわざf(x)dxとして積分する理由がわかりません・・・ 微分の逆操作という意味であれば、∫f(x)＝F(x)+Cはとてもしっくりくるのですが・・・ もちろん、式変形を行いd/dxF(x)＝f(x)より、dF(x)=f(x)dxとなり、 両辺を積分すれば、∫f(x)dxが導けることは理解できます。 ∫f(x)dxは、F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和となり、 ∫f(x)dxが直感的に微分の逆操作というイメージが沸きません・・・ F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和が原始関数となる事を 教えて頂けませんでしょうか？ （もちろん、積分定数分は切片としてズレる事は理解しています。） そもそも∫○dxは、一対で考えなければならないのでしょうか？ このdxが何で積分するかを表すという考えなのでしょうか？ ということは、 ・不定積分・・・・・微分の逆操作→∫f(x)dxのdxは何で積分するかを表すための記号 ・定積分・・・・・・総和Σの極限→∫f(x)dxのdxは幅 という解釈で良いのでしょうか？ 定積分であれば、面積＝Σ（高さ×幅）となるので、∫f(x)dxは理解できます。f(x)が高さでdxが幅。 ※質問内容※ ・不定積分は、∫f(x)＝F(x)+Cではダメか。 ダメな場合、なぜダメなのか。 ・∫○dxは一対で考えなければならないのか？ ・F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和がなぜ原始関数になるのか？ ・不定積分における∫f(x)dxのdxとは”何で積分するか”を表す記号と解釈してよいか？ 以上、長々とあほな質問ですがご回答よろしくお願い致しますm(__)m ちなみに、以前私と同様の質問の方がいらっしゃいました。 http://okwave.jp/qa1415099.html
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分（見分け方）
次の定積分についてなんですが、（ここでは、定積分の定義域は関係ないとおもうので省略しますが） (1)∫x(x-1)^4dx (2)∫(x+2)cosxdx (3)∫(x^2)/√(1+x)^2 dx (4)∫dx/(e^x -1) (5)∫(x+2)√(3x+4)dx (6)√(9-x^2)dx (7)∫dx/(x^2 +1) これらの問題で、(1)～(2)は片方を微分した形に変化したやつから求める部分積文法、(3)～(5)はt=○○という感じで、dx=○○dtとしたときに dxにうまく代入して計算する (6)～(7)は３～５と同様に置き換えがあるのだが、x=3sinθ とおいたり、実際にある数字からでなく別の数字を無理やり置く。 また、∫x^4/(x^2-1) dxも、これも置き換えとかするのかな、と思ったらこれは普通に中身を(x^2 +1+ 1/x^2 -1)のように分解して普通に積分。 これらの問題は一見してどれも違いがよくわからないのに、それぞれ解法が違って初めの段階でどれでやればいいのか？というのが検討がつきません。 それぞれ、模範解答を見ると理解できるのですが、初めの段階が問題を見て判断できないので困っています。それぞれの違いなど、そのポイントをお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 置換積分における置換演算について
f(x)に対する積分式について、計算のため、 t^2 = x-5 とおく変数の置換式を立てました。 この時、両辺をtで微分すると、 2t = dx / dt → 2t・dt = dx という変換式ができます。 一方、両辺をxで微分すると、 dt^2 / dx = 1 → dt^2 = dx という変換式ができます。 ここで、dt^2 = t・dtとみなして t・dt = dx という変換式として使っては「いけない」明確な説明は、どのようなものになるでしょうか? (t^2という文字を更に別の文字に置換する必要がありますが、高校の数学教科書ではこのあたりが明確に示されていないようです。) (置換積分の変換式の説明の際、「dx→dt」の置換方法は、合成微分の絡みから、「あたかも分数の掛け算をするように」求められると解説されることがあるようですが、その説明ではこの部分の説明がうまくできません。) よろしくおねがいいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分についての簡単な質問
何個かあります。 ・まず確認みたいなことですが、定積分の記号［ ］の中身の定数は具体的な数字(下端上端の区間の数字)を代入する前に外に出してもよいのですよね。 ・これは具体的な問題ですが、「∫{e(-x)*sinx}dxを部分積分法でとけ」というものです。これはe(-x)を微分、sinxを積分するとみる、と書いてありこの通りにやったらもちろん解けました。でも逆ではいけないのでしょうか。自分でやってみたら計算ミスかもしれませんが出来ませんでした。 以上をよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
