固有値の数と行列

質問

固有値の数と行列には何か関係がありますか？

三行三列の行列を対角化するには三つの固有ベクトルが必要ですよね。そのとき三つでてくるためには何か条件とかいりますでしょうか？

回答No.1

tyoto · ベストアンサー

確かに、互いに線型独立（一次独立）な固有ベクトルが3本とれれば、サイズ3の行列は対角化できます。それでは線形空間（ベクトル空間）Vで3つの独立なベクトルが取れる必要条件はなんでしょうか。それはまずdim Vが3以上でなければなりませんよね。それを固有値に対する固有空間に置き換えて考えてみましょう。つまり、それぞれの固有値に対する固有空間の次元の和が3であれば3本の独立なベクトルが取れる訳です。

まず、相異なる固有値が3つある場合。これぞれの固有値に対する固有区間は1次元ですので、固有空間の次元の和は3です。よって対角化可能です。

次に、固有値が二つの場合はどちらかの固有値に対する固有空間の次元が2次元であれば対角化できます。共に一次元であれば対角化不可能です。

最後に、固有値が一つしかない場合は、その固有値い対する固有空間の次元が3であれば対角化可能です。

一般にn次正方行列が対角化できる必要十分条件は
Σ_{α : 固有値}　dim V_α　= n (V_αは固有値αに対応する固有空間)
となっている事です。

行列の対角化の概念の上にはジョルダン標準形の理論があります。対角化できない行列に対しても、対角行列に近い、''きれいな''形の標準型を作れるかという話です。