緩増加超関数について
- 緩増加超関数とは、急減少関数全体の上で定義される線形写像のことです。
- 緩増加超関数は連続であり、収束する関数列に対しても収束する性質を持ちます。
- デルタ関数は緩増加超関数の一例であり、積分の中でもよく出てきます。しかし、デルタ関数には測度０上で値をとる特性があり、実際には普通の関数とは異なる扱い方がされています。なぜこのような書き方がされるのか、詳細は不明です。
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緩増加超関数について
定義 Ｔが緩増加超関数であるとは、 １．ＴはＳ上の線形写像、ただしＳは急減少関数全体とします ２．Ｔは連続、i.e.任意のφ,φn∈Ｓに対してφn→φならＴ(φn)→Ｔ(φ) ２の定義中にあるφn→φ(n→∞)の意味なんですが これはＳにある位相をいれてあってその位相に関して収束するという意味です ここではその位相の紹介は省きます またＴ(φ)のことを<Ｔ,φ>と書きます 例 δ関数を次のように定義するとδ関数は緩増加超関数です <δ,φ>＝φ(０)、φ∈Ｓ 証明は定義の１，２を確かめればいいので省きます ここからが本題なのですが このデルタ関数が積分の中にでてくるのをよく見ます たとえば ∫（－∞～∞）ｄｘ・∫（－∞～∞）ｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・δ（ｚ－ｘ／ｙ） などです。 このδ関数はｚ－ｘ／ｙに作用しているのですが これは上の定義のようなＳ上の関数にはなっていません あたかも普通の関数のように扱われています しかし、普通の関数としたら （今ｐは連続分布という仮定があります） この測度０上で値をとる関数なのでこの積分は０になるはずです ではどうしてこのように混同して書かれているのでしょうか？ ぜひ教えてください
- hismix
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問題の趣旨を良く理解していないのですが、 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=212617で ∫(－∞～∞)dx・∫(－∞～∞)dy・p(x)・p(y)・δ(z-x/y)を書いた人なので。 書いたときの気分としては完全に関数です。 でも、hismixの定義によれば 写像δはｚ－ｘ／ｙに作用するのではなくて p(x)やp(y)に作用するのではないでしょうか？ 関数の変数のように書かれているz-x/yは単なる写像のパラメータと解釈すればいいと思いますが、 関数のように書いたほうが写像が単なる積分に見えて気分がよろしい（微分もできるしね） というような事情なのではないでしょうか？ （実際は歴史的な経緯でこうなっていると思いますが 敢えて言えばこんな感じかなと思って書きました。）
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- motsuan
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あとδ(z-x/y)はδ(yz-x)としたほうが良かったかも知れません。 と反省しています。 「hismixの定義によれば」ではなくて「hismixさんの定義によれば」でした。 失礼しました（カット＆ペーストの恐ろしさ）。
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